Cómo sacar el máximo común divisor

Antes de querer saber qué es o a qué se le llama máximo común divisor, será bueno que tengamos claro qué es un divisor.

¿Qué es un divisor de un número? Pues dado un número cualquiera, el divisor o divisores de este son aquellos valores que dividen a nuestro número de forma exacta, sin decimales.

Ejemplos de divisores de números

Veamos algunos ejemplos:

Nos piden hallar los divisores del número 4: Deberemos encontrar los valores que dividen a 4 de forma exacta. Veamos: El 4 puede dividirse de forma exacta por 1, por 2 y por 4.

En realidad, solamente estamos teniendo en cuenta los divisores positivos. En caso de que ya conozcamos los números enteros negativos, deberemos agregarle a nuestros divisores positivos sus correspondientes valores negativos. Por ejemplo:

Hallemos los divisores del número 10: Sabemos que el 10 se divide de forma exacta por los valores 1 , 2 , 5, 10. Pero no olvidaremos sus valores negativos, puesto que dividiendo por los valores negativos el resultado también es exacto. Por tanto, cuando nos pidan los divisores del número 10 escribiremos:

D(10)={±1, ±2, ±5, ±10} .

(La D mayúscula se usa en lenguaje matemático para referirse a los divisores de un número. El símbolo ± se refiere al valor positivo y negativo del mismo.)

Ahora que ya sabemos lo que es el divisor de un número podemos avanzar y explicar lo que es el máximo común divisor o m.c.d. y el modo de hallarlo.

Muchas veces, en matemáticas, empezar con un ejemplo es el mejor modo de entender la definición. Vamos a ello:

Ejemplo 1: Imaginemos que nos piden hallar el m.c.d de los números 12 y 18.

1. Lo primero que debemos hacer es descomponer dichos números en números primos.
2. Escribiremos los números de forma factorizada, y escogeremos aquellos factores que se repiten, escogiendo aquellos que tengan menor exponente, es decir, si tenemos un tres al cuadrado en una factorización y un tres simple en la otra, escogeremos el tres simple, elevado a uno. Ejemplo: 12=22×3
3. El dos y el tres son factores que se repiten en ambas factorizaciones. Nos interesan los que presenten menor exponente, es decir, el 2 y el 3. Una sencilla multiplicación nos dará el máximo común divisor de 12 y 18. m.c.d (12, 18)= 2 x 3 = 6

Definición de máximo común divisor

Visto el modo de hallar el m.c.d será bueno definirlo de forma un poco más formal pero sin complicarnos innecesariamente.

Partiendo de dos o más números establecidos, el m.c.d o máximo común divisor entre ellos será el divisor de mayor valor que dichos números tengan en común.

Este divisor común tiene múltiples aplicaciones en matemáticas, si bien los alumnos que empiecen a conocerlo lo usarán sobre todo para simplificar fracciones con el objetivo de que sean más manejables a la hora de operar.

Comentaremos un caso especial que puede presentarse a la hora de hacer los deberes o un examen y que puede generar duda entre los alumnos que empiezan a familiarizarse con el m.c.d. Calcularlo es sencillo, pero debemos tener claro que no siempre es posible hallarlo, hay veces que no existe un divisor común entre los números que nos faciliten. Cuando eso pasa, se dice que los números en cuestión son primeros entre ellos y el cálculo del m.c.d no es posible.

Veamos un ejemplo sencillo para entender mejor lo que acabamos de explicar.

Cojamos dos números compuestos (es decir, con al menos tres divisores):

El 18 y el 25 nos servirán.

1. Procedamos como siempre hacemos; descomponemos y reescribimos de forma factorizada.
2. Enseguida observamos que 18 y 25 no tienen ningún factor en común, por tanto el m.c.d no puede calcularse, simplemente no existe.

Para terminar esta lección, te dejaremos algunos ejercicios y soluciones del máximo común divisor. Así, podrás practicar tú mismo/a y ver si has comprendido bien la lección:

1. Calcular el m.c.d de (18, 27, 90)
2. Calcular el m.c.d de (100, 225, 500)
3. Calcular el m.c.d de (12, 17. 42)

Soluciones de los ejercicios

Aquí te dejamos las soluciones para que compruebes tus resultados en casa:

1. Solución: 9
2. Solución: 25
3. Solución: no existe

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