En una nueva lección de unProfesor veremos dos métodos de cómo calcular los catetos de un triángulo isósceles. Comenzando con los pasos a seguir de cada uno, para luego ver un ejemplo y ejercicios para resolver. Los catetos de un triángulo isósceles tienen la misma longitud ya que es una propiedad que cumplen estos triángulos. A su vez, tienen dos ángulos iguales que siempre miden 45° sexagesimales.
¿Cuáles son los métodos para el cálculo?
Cuando queremos calcular los catetos de un triángulo isósceles, tenemos varias opciones. Es decir, si el triángulo es rectángulo podemos utilizar el teorema de Pitágoras conociendo el valor de la hipotenusa, o también podemos recurrir a las razones trigonométricas conociendo el lado faltante y un ángulo.
Recordemos primero que un triángulo isósceles tiene la particularidad de tener dos lados iguales y también dos ángulos iguales.
Estas dos opciones son muy sencillas de aplicar, sabiendo cuáles son las fórmulas que utilizamos en cada caso.
Calcular los catetos de un triángulo isósceles con el teorema de Pitágoras
Tenemos el teorema de Pitágoras que establece que para todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Si tenemos un triángulo rectángulo de lados a, b y h, siendo a y b los catetos y h la hipotenusa, entonces la fórmula se escribe:
h2 = a2 + b2
La hipotenusa de un triángulo rectángulo es el lado que posee mayor longitud y además el lado opuesto al ángulo recto. Mientras que los catetos son los lados que tienen menor longitud que la hipotenusa y son los lados que forman al ángulo de 90° sexagesimales.
Ahora que estamos trabajando los triángulos isósceles sabemos que los catetos tendrán ambos la misma longitud.
Entonces podemos reescribir la fórmula del teorema de Pitágoras de la siguiente manera:
- h2 = a2 + a2
- Si juntamos los lados que son iguales la fórmula queda así:
- h2 = 2 . a2
Debemos conocer el valor de la longitud de la hipotenusa para calcular los catetos del triángulo isósceles.
Aquí te descubrimos cómo calcular el área de un triángulo isósceles y cómo sacar el perímtero de un triángulo isósceles.
Ejemplo de cómo calcular los catetos de un triángulo isósceles con Pitágoras
Queremos hallar el valor de los catetos de un triángulo isósceles cuya hipotenusa mide 17 cm de longitud.
En este caso, sabemos que tenemos que utilizar el teorema de Pitágoras para resolverlo porque solo conocemos dos datos: que es un triángulo rectángulo isósceles y el valor de la hipotenusa.
Para resolverlo, usamos la fórmula que despejamos del teorema de Pitágoras:
- h2 = 2 . a2
- 172 = 2 . a2
- 289 = 2 .a2
- 289/2 = a2
- Raíz cuadrada (144.5) = a
- 12 = a
Por lo tanto, los catetos del triángulo rectángulo isósceles miden 12 cm cada uno.
Descubre aquí los tipos de triángulos.
Cómo calcular los catetos de un triángulo isósceles con razones trigonométricas
Los catetos de un triángulo rectángulo isósceles también pueden calcularse a partir de las razones trigonométricas, si sabemos el valor de la hipotenusa. También necesitamos un ángulo pero al ser isósceles, sabemos que los ángulos interiores que no son el recto, siempre miden 45° sexagesimales.
Recordemos cuáles son las razones trigonométricas y sus fórmulas. Para un triángulo rectángulo cuyo ángulo interior diferentes del recto, se denomina ∝, las razones son:
- sen ∝ = cateto opuesto/hipotenusa
- cos ∝ = cateto adyacente/hipotenusa
- tg ∝ = cateto opuesto/cateto adyacente
Siendo ∝, el ángulo enfrentado al cateto opuesto y formado de un lado por el cateto adyacente.
En este caso en particular, como queremos calcular los catetos del triángulo rectángulo vamos a conocer el valor de la hipotenusa y su ángulo de 45° sexagesimales, por lo tanto se va a utilizar el seno y el coseno como las fórmulas para hallar ese resultado.
Ejemplo de cómo calcular los catetos de un triángulo isósceles con razones trigonométricas
Queremos hallar el valor de los catetos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 9 cm. Ya sabemos que los ángulos miden 90° y 45° sexagesimales los que son iguales, por lo tanto, aplicamos tanto coseno o seno para hallar el resultado que estamos buscando.
sen ∝ = cateto opuesto/hipotenusa
sen 45° = cateto opuesto / 9
sen 45° . 9 = cateto opuesto
6.36 = cateto opuesto
Sabemos que los dos lados miden lo mismo por ser isósceles, pero verificamos realizando el coseno para averiguar el valor del cateto adyacente.
cos ∝ = cateto adyacente/hipotenusa
cos 45° = cateto adyacente / 9
cos 45° . 9 = cateto adyacente
6.36 = cateto adyacente
Verificamos que los dos lados son iguales, por lo tanto los catetos miden 6.36 cm.
Ejercicios
Resolver los siguientes ejercicios
- Queremos hallar el valor de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles sabiendo que la hipotenusa mide 18 cm.
- Hallar el valor de un triángulo rectángulo isósceles de ángulos 90° y 45° sexagesimales cuya hipotenusa mide 24 cm.
Soluciones
1. Queremos hallar el valor de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles sabiendo que la hipotenusa mide 18 cm.
Utilizamos para resolverlo en este caso, la fórmula que despejamos del teorema de Pitágoras
h2 = 2 . a2
182 = 2 . a2
324 = 2 .a2
324/2 = a2
Raíz cuadrada (162) = a
12.7 = a
Por lo tanto, los catetos del triángulo rectángulo isósceles miden 12.7 cm cada uno.
2. Hallar el valor de un triángulo rectángulo isósceles de ángulos 90° y 45° sexagesimales cuya hipotenusa mide 24 cm.
Como el enunciado nos habla de los ángulos y longitud de la hipotenusa, podemos utilizar las razones trigonométricas para hacerlo.
sen ∝ = cateto opuesto/hipotenusa
sen 45° = cateto opuesto / 24
sen 45° . 24 = cateto opuesto
16.9 = cateto opuesto
Sabemos que los dos lados miden lo mismo por ser isósceles, pero verificamos realizando el coseno para averiguar el valor del cateto adyacente.
cos ∝ = cateto adyacente/hipotenusa
cos 45° = cateto adyacente / 24
cos 45° . 24 = cateto adyacente
16.9 = cateto adyacente
Verificamos que los dos lados son iguales, por lo tanto los catetos miden 16.9 cm.
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