Cómo calcular el seno y coseno de un ángulo

Antes de contarte cómo calcular el seno y coseno de un ángulo, vamos a ver qué son. El seno y el coseno de un ángulo son dos identidades trigonométricas que se utilizan en matemáticas cuando se trabaja con triángulos rectángulos.

Estas identidades sirven para averiguar el valor de un ángulo a partir de dos lados del triángulo rectángulo o bien, un lado del triángulo rectángulo a partir de un ángulo y un lado. Obviamente cuando nos referimos a estos ángulos, estamos hablando de ángulos diferentes al que mide 90° sexagesimales.

Las razones trigonométricas surgen a partir del teorema de Pitágoras para cualquier triángulo rectángulo. Se cumplen sin importar la medida que tengan los lados de un triángulo, y los ángulos que son diferentes al de 90° sexagesimales.

Si tenemos un triángulo rectángulo de lado opuesto al ángulo recto llamado hipotenusa y los otros dos lados, que forman el ángulo recto, llamados catetos, entonces las fórmulas de las identidades trigonométricas de seno y coseno de un ángulo son:

SENO

sen x = cateto opuesto / hipotenusa

COSENO

cos x = cateto adyacente / hipotenusa

Siendo x uno de los ángulos que NO es el recto. Esto quiere decir que dependerá del ángulo que utilicemos en la identidad, para considerar un cateto opuesto o un cateto adyacente. La hipotenusa es siempre la misma, el lado opuesto al ángulo recto.

Aquí te contamos qué es el teorema del seno.

Para calcular el seno y coseno de un ángulo, vamos a utilizar un ejemplo sencillo, donde tenemos que utilizar ambas identidades trigonométricas para hallar el valor de los ángulos faltantes.

Calcular los ángulos de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 40 cm y uno de los catetos que no es la base del mismo, mide 20 cm. (ver imagen)

Paso a paso

Para calcular los ángulos faltantes, primero comenzamos por el nombrado como x. Para ello primero visualizamos cuales son los catetos con respecto a ese ángulo. El cateto adyacente al ángulo x es el lado C, el cateto opuesto de x es el lado que mide 20 cm mientras que la hipotenusa es el lado que mide 40 cm. Por lo tanto contamos con dos datos completos, que corresponden a la razón trigonométrica seno, entonces:

sen x = cateto opuesto / hipotenusa

• sen x = 20 / 40
• sen x = 1/2
• x = arcosen (1/2)
• x = 30°

Se reemplazan los valores conocidos y se despeja la incógnita, y una vez que llegamos al seno del ángulo, entonces aplicamos la operación inversa del seno y obtenemos la medida del ángulo, que en este caso es 30° sexagesimales.

Ahora bien, para calcular el ángulo a, visualizamos cuáles son los catetos. El lado C es el cateto opuesto, el lado de 20 cm es el lado adyacente y el que mide 40 cm es como ya comentamos antes la hipotenusa. Por lo tanto, utilizamos la razón trigonométrica coseno debido a los datos completos que tenemos, entonces:

cos a = cateto adyacente / hipotenusa

• cos a = 20 / 40
• cos a = 1 / 2
• a = arcocos (1/2)
• a = 60°

Al reemplazar los valores conocidos en la fórmula, hallamos que el ángulo a=60° sexagesimales.

En el mismo ejemplo, también podemos utilizar tanto el seno como el coseno de un ángulo para encontrar el valor del lado faltante.

Por ejemplo, podemos calcular el valor de C con el ángulo x=30° utilizando el coseno de ese ángulo para despejar y encontrar el cateto adyacente. Entonces:

cos x = cateto adyacente / hipotenusa

• cos 30° = C / 40
• cos 30° . 40 = C
• 34,64 = C

El valor del lado faltante C es igual a 34,64 cm.

Si queremos utilizar el ángulo a = 60° sexagesimales, entonces usamos la razón seno y hallamos el valor de C. Entonces:

sen x = cateto opuesto / hipotenusa

• sen 60° = C / 40
• sen 60° . 40 = C
• 34,64 = C

En ambos casos, obtenemos el mismo resultado, el valor del cateto faltante es 34,64 cm.

Vamos a poner a prueba todo lo aprendido sobre calcular el seno y coseno de un ángulo, con este ejercicio. Más abajo, te dejamos la solución para que puedas comprobar todos los pasos.

Ejercicio

Calcula el valor de los ángulos de un triángulo rectángulo de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm. (ver imagen)

Solución

Para resolver el valor de los ángulos del triángulo rectángulo de lados 3 cm, 4 cm y 5 cm, se utilizan las razones trigonométricas del seno y del coseno. En este caso, como tenemos los datos de todos los lados, podemos utilizar cualquier de las dos identidades para hallar el valor de los ángulos. Por ello, vamos a comprobar que utilizándolas al mismo tiempo, el resultado que obtenemos es el mismo.

Para hallar el valor del ángulo a, podemos utilizar el seno con el lado opuesto que mide 4 cm y la hipotenusa 5 cm, entonces:

• sen a = cateto opuesto / hipotenusa
• sen a = 4 / 5
• sen a = 0,8
• a = arcsen (0,8)
• a = 53°

Si utilizamos coseno para hallar el ángulo a, donde el cateto adyacente es 3 cm y la hipotenusa es 5 cm, entonces:

• cos a = cateto adyacente / hipotenusa
• cos a = 3 / 5
• cos a = 0,6
• a = arcocos (0,6)
• a = 53°

Por lo tanto, comprobamos que utilizando cualquiera de las dos razones trigonométricas correctamente, obtenemos el mismo resultado.

Ahora bien, para hallar el ángulo x con las dos razones trigonométricas buscamos nuevamente cuales son los valores correspondientes para poder realizar los cálculos.

Si utilizamos el seno de x, el cateto opuesto es 3 cm y la hipotenusa 5 cm, entonces:

• sen x = cateto opuesto / hipotenusa
• sen x = 3 / 5
• sen x = 0,6
• x = arcosen (0,6)
• x = 37°

Si utilizamos el coseno de x, el cateto adyacente es 4 cm y la hipotenusa es 6 cm, entonces:

• cos x = cateto adyacente / hipotenusa
• cos x = 4 / 5
• cos x = 0,8
• x = arcocos (0,8)
• x = 37°

Volvemos a comprobar una vez más, que el resultado que obtenemos es el mismo utilizando cualquiera de las dos razones trigonométricas.

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