Al momento de querer encontrar el valor que falta de uno de los catetos de un triángulo rectángulo, se recurre al teorema de Pitágoras para ello. Es un método muy sencillo pero efectivo de usar. En una nueva lección de unPRofesor veremos cómo calcular los catetos de un triángulo rectángulo . Veremos cuáles son los pasos a seguir para hacerlo.
Cálculo del cateto faltante
Para calcular los catetos de un triángulo rectángulo se utiliza el teorema de Pitágoras. Este teorema establece que la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de su hipotenusa. Para entenderlo tenemos dos aclaraciones, por un lado, como bien menciona el teorema, solo puede utilizarse con triángulos rectángulos y por el otro, debemos distinguir cuáles son los catetos y cuál la hipotenusa para utilizarlo.
Los catetos de un triángulo rectángulo son aquellos lados que “forman” el ángulo recto, es decir el ángulo de 90° sexagesimales, mientras que la hipotenusa es el lado opuesto a ese ángulo recto.
Entonces, si tenemos un triángulo rectángulo de lados a, b y c, cuyos catetos son a y b, y la hipotenusa es c, el teorema se escribe de la siguiente forma:
a2 + b2 = c2
Ahora bien, para calcular uno de los catetos de un triángulo rectángulo, debo tener el dato de la medida del otro cateto y de la hipotenusa para resolverlo, de lo contrario no es posible. El único caso en que se puede averiguar el valor de los dos catetos, sabiendo solo la hipotenusa, es cuando el triángulo rectángulo es isósceles. Recordemos que un triángulo isósceles tiene la característica de tener dos lados con la misma longitud.
Pasos para calcular el cateto de un triángulo rectángulo
Para hallar el valor de la longitud de un cateto de cualquier triángulo rectángulo, debemos conocer los otros dos lados del mismo, y utilizar el teorema de Pitágoras, despejando el valor que queremos encontrar y obteniendo así el resultado.
Si el cateto que debemos encontrar es el a, entonces despejamos a del teorema de Pitágoras:
a2 + b2 = c2
a2 = c2 - b2
y obtenemos la siguiente fórmula:
a = raíz cuadrada (c2 - b2)
En caso de que el cateto faltante sea b, la fórmula quedaría de la siguiente manera:
b = raíz cuadrada (c2 - a2)
Entonces los pasos a seguir son:
- 1. Distinguir cuáles son los catetos y cuál la hipotenusa
- 2. Conocer los valores de las longitudes de la hipotenusa y del cateto restante
- 3. Utilizar la fórmula que despejamos del teorema de Pitágoras para hallar el cateto faltante
- 4. Reemplazar los valores conocidos y obtener el resultado
Una vez que encontramos el valor del cateto faltante podemos corroborar el resultado con el teorema. Si en ambos lados de la igualdad obtenemos el mismo resultado, entonces hemos realizado bien el ejercicio.
Ejemplo de cómo resolver el cateto de un triángulo rectángulo
Queremos hallar el valor de la longitud del cateto de un triángulo rectángulo cuya medida de sus lados es b= 14 cm y c=18 cm.
En estos ejemplos, vamos a mantener los nombres de los lados del triángulo rectángulo, es decir a y b siempre son los catetos, mientras que c es la hipotenusa.
Para resolverlo, seguimos los pasos antes mencionados.
Distinguimos cuáles son los catetos y cuál la hipotenusa y tenemos sus valores.
Cateto b=14 cm, hipotenusa c=18 cm y a es el cateto que debemos hallar. Ahora utilizamos la fórmula que despejamos y resolvemos:
- a = raíz cuadrada (c2 - b2)
- a = raíz cuadrada (182 - 142)
- a = raíz cuadrada (324 - 196)
- a = raíz cuadrada (128)
- a = 11.3
El valor del cateto faltante es a = 11.3 cm (aproximado).
Corroboramos que realizamos correctamente el cálculo. Utilizamos Pitágoras:
- a2 + b2 = c2
- 11.32 + 142 = 182
- 128 + 196 = 324
- 324 = 324
Por lo tanto, realizamos el cálculo correctamente.
Aquí te contamos qué es un cateto de un triángulo.
Ejercicios de cómo calcular los catetos de un triángulo rectángulo
Realizamos una serie de ejercicios para comprender el procedimiento.
1. Hallar el valor del cateto faltante de un triángulo rectángulo cuyos lados conocidos son a= 5 cm y c= 9cm.
2. Encontrar el valor del cateto a faltante, sabiendo que los otros dos lados del triángulo rectángulo miden b = 13 cm y c = 20 cm.
3. Hallar el valor del cateto a si los lados del triángulo rectángulo son b = 7 cm y c = 12 cm.
Soluciones
1. Hallar el valor del cateto faltante de un triángulo rectángulo cuyos lados conocidos son a= 5 cm y c= 9cm.
Distinguimos catetos, hipotenusas y ponemos valores.
Cateto a = 5 cm, hipotenusa c = 9 cm y cateto b es el valor desconocido
Utilizamos la misma fórmula que despejamos, cambiando a por b. Entonces:
- b = raíz cuadrada (c2 - a2)
- b = raíz cuadrada (92 - 52)
- b = raíz cuadrada (81 - 25)
- b = raíz cuadrada (56)
- b = 7.48
El valor de b = 7.48 cm (aprox.)
2. Encontrar el valor del cateto a faltante, sabiendo que los otros dos lados del triángulo rectángulo miden b = 13 cm y c = 20 cm.
Nuevamente distinguimos catetos, hipotenusa y sus valores conocidos.
Cateto b = 13 cm, hipotenusa c= 20 cm y cateto faltante a.
Utilizamos la fórmula que despejamos:
- a = raíz cuadrada (c2 - b2)
- a = raíz cuadrada (202 - 132)
- a = raíz cuadrada (400 - 169)
- a = raíz cuadrada (231)
- a = 15.2
El valor del cateto faltante es a = 15.2 cm (aprox.)
3. Hallar el valor del cateto a si los lados del triángulo rectángulo son b = 7 cm y c = 12 cm.
Distinguimos catetos, hipotenusa y los valores que conocemos.
Cateto b = 7 cm, hipotenusa c= 12 cm y cateto faltante a que debemos hallar.
Utilizamos la fórmula que despejamos:
- a = raíz cuadrada (c2 - b2)
- a = raíz cuadrada (122 - 72)
- a = raíz cuadrada (144 - 49)
- a = raíz cuadrada (95)
- a = 9.7
El cateto desconocido a = 9.7 cm (aprox.).
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