Nos alegra poder traer una nueva lección desde unProfesor en la que vamos a ver cómo calcular una matriz inversa. Para ello, iniciaremos la lección aclarando conceptos como por ejemplo qué es una matriz y qué significa que sea inversa. Seguidamente, proporcionaremos la fórmula para calcular la matriz inversa y veremos un ejemplo. Por último, plantearemos un ejercicio y su solución, para que podáis verificar que habéis comprendido lo explicado a lo largo del texto.
¿Qué es una matriz inversa?
Una matriz es un conjunto de números o expresiones, dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Se expresan dentro de paréntesis y en el interior encontramos números, mayoritariamente.
Cada número que existe en el interior de la matriz, se puede expresar y denominar según su posición dentro de la matriz, de la siguiente forma:
Xij
- “i” como el número de la fila en la que se encuentra el número
- “j” como el número de la columna que se encuentra el número.
No obstante, la matriz inversa es la única matriz que al multiplicarla por la original no invertida, obtenemos la matriz identidad. Además, no siempre existe, ya que es necesario que el determinante de la matriz sea distinto de cero.
Calcular una matriz inversa: fórmula
Para calcular la matriz inversa de una matriz, tenemos que seguir la fórmula que adjuntamos como imagen.
En esta fórmula, vemos que hay una fracción en la que el numerador es la transpuesta de la adjunta de la matriz, mientras que el denominador es el determinante de la matriz.
Ejemplo
Como es una fórmula bastante abstracta, es mejor si lo vemos numéricamente, así que vamos a verlo con un ejemplo:
(2 -1 4 3 )
Calculamos el determinante, porque si es cero, no podremos hacer la inversa. Es por ese motivo que lo más inteligente es calcular el determinante en primer lugar, porque si es cero ya no hará falta que perdamos el tiempo en calcular la inversa de la matriz, porque no va a existir. Para ello, se multiplica la diagonal que empieza con el primer número, es decir, 2 x 3 = 6. A continuación, se multiplica la otra diagonal: - 1 x 4 = - 4. Ahora se resta lo que nos ha dado la primera, menos la segunda: 6 – (-4) = 6 + 4 = 10.
Calculamos la adjunta de la matriz, que simplemente es cambiar los números de la primera diagonal de sitio y cambiar el signo a los de la segunda diagonal, así:
(3 1 -4 2 )
Aplicamos la fórmula:
(3 1 -4 2 ) / 10 = (0,3 0,1 -0,4 0,2 ) Esta es nuestra matriz inversa.
Propiedades de la matriz inversa
Las propiedades de la matriz inversa más destacables son:
- La matriz inversa de una matriz cualquiera se representa elevando esa matriz a -1, por ejemplo, si la matriz es A, su inversa será A-1.
- Únicamente encontraremos la matriz inversa en las matrices cuadradas que tengan un determinante distinto de cero.
- La inversa de la multiplicación de dos matrices es la multiplicación de las inversas de cada una de ellas cambiando el orden.
Ejercicios de calcular una matriz inversa
Para verificar si has comprendido lo que se ha explicado en la lección de hoy, te recomendamos que realices el siguiente ejercicio, del que posteriormente te proporcionaremos la solución:
Calcula la matriz inversa de (5 2 2 1 )
Soluciones
A continuación, puedes comprobar si has realizado correctamente la actividad planteada en el apartado anterior con la solución que vas a encontrar abajo:
(5 2 2 1 )
Calculamos el determinante, multiplicando la diagonal que empieza con el primer número, es decir, 5 x 1 = 5. A continuación, se multiplica la otra diagonal: 2 x 2 = 4. Ahora se resta lo que nos ha dado la primera, menos la segunda: 5 – 4 = 1.
Calculamos la adjunta de la matriz, que simplemente es cambiar los números de la primera diagonal de sitio y cambiar el signo a los de la segunda diagonal, así:
(1 -2 -2 5 )
Aplicamos la fórmula:
1 -2 -2 5 / 1 = 1 -2 -2 5 Esta es nuestra matriz inversa.
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