Cómo resolver ecuaciones con dos incógnitas

Para resolver ecuaciones con dos incógnitas, primero debemos recordar el concepto de ecuación. Las ecuaciones son igualdades algebraicas que contienen un elemento desconocido llamado incógnita, que se representa con una letra. Se resuelven de forma que podamos conocer el valor faltante que hace verdadera la igualdad.

Las ecuaciones tienen grados que definen qué tipo de ecuación será, y este se determina a partir del exponente de mayor valor que tiene la incógnita. Dos o más ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones, es decir, si admiten los mismos valores para la incógnita.

Ahora bien, si queremos resolver ecuaciones con dos incógnitas es muy importante saber que se necesitan al menos dos ecuaciones para poder resolverlas.

Esto se debe a que con una sola igualdad es imposible resolver el valor de dos incógnitas, ya que, si despejamos una de ellas, la ecuación quedará expresada en función de la otra y no podremos determinar un valor único para ambas. A estas dos ecuaciones que forman un sistema se les llama sistema de ecuaciones. Las ecuaciones que generalmente se utilizan son de primer grado, es decir, las incógnitas tienen exponente igual a 1.

Un sistema de ecuaciones, por ejemplo, se ve de la siguiente manera:

• 2x + y = 6
• 4x + 3y = 14

La solución se expresa como un par ordenado (x, y), donde cada número corresponde a una incógnita. Para comprobarla, basta sustituir ambos valores en las dos ecuaciones y verificar que se cumplen las igualdades.

Al resolver el sistema de ecuaciones, podemos hallar que tiene una solución, ninguna solución o infinitas soluciones.

Existen varios métodos para resolver un sistema de ecuaciones; entre ellos, los más utilizados son el método de igualación y el método de sustitución.

Te dejamos un vídeo de nuestro profesor donde te cuenta qué es un sistema de ecuaciones:

Como mencionamos anteriormente, existen varios métodos de resolución, pero en este apartado veremos los dos más utilizados.

Método de igualación

Para realizar el método de igualación debemos despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones para luego igualarlas. Es decir, de las dos ecuaciones elegimos una de las incógnitas y la despejamos en ambas para luego igualar las expresiones y así convertir un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en una ecuación con una sola incógnita. Una vez hallado su valor, lo reemplazamos en una de las ecuaciones para hallar el valor faltante y determinar la solución. Para facilitar los cálculos, suele convenir despejar la incógnita cuyo coeficiente sea 1 o que genere operaciones más sencillas. Si aparecen fracciones, hay que conservarlas correctamente al multiplicar ambos miembros.

Veamos cómo se resuelve utilizando el ejemplo anterior.

• 2x + y = 6
• 4x + 3y = 14

Primero, elegimos la incógnita que queremos despejar. Como en la primera ecuación la y tiene coeficiente uno, será más sencillo despejarla.

• y = 6 - 2x
• y = (14 - 4x) / 3

Ahora, como el resultado de y debe ser el mismo en ambas ecuaciones, sabemos que son iguales y, tal como anticipa el método, igualamos las dos expresiones:

• y = y
• 6 - 2x = (14 - 4x) / 3

Tenemos ahora una ecuación lineal de una sola incógnita y resolvemos para hallar el valor de x.

• (6 - 2x) . 3 = 14 - 4x
• 18 - 6x = 14 - 4x
• 18 - 14 = -4x + 6x
• 4 = 2x
• 4 / 2 = x
• 2 = x

El resultado de x es igual a 2. Con este dato, reemplazamos el valor de x en una de las ecuaciones despejadas y hallamos el valor de y.

• y = 6 - 2x = 6 - 2 . 2 = 6 - 4 = 2
• y = (14 - 4x) / 3 = (14 - 4 . 2) / 3 = (14 - 8) / 3 = 6 / 3 = 2

Entonces, el resultado del sistema de ecuaciones se escribe como un punto en un sistema de coordenadas cartesianas: S = (2, 2)

Método de sustitución

Para realizar el método de sustitución, debemos elegir una de las incógnitas que forman parte de nuestro sistema de ecuaciones lineales y despejarla en una de las ecuaciones para luego reemplazarla en la ecuación que no utilizamos.

Esto permite que un sistema con dos incógnitas se convierta en una ecuación lineal con una sola incógnita para poder hallar primero el valor de una de ellas. Luego, como hicimos con el método anterior, se reemplaza en la ecuación que despejamos y encontramos el valor de la segunda incógnita. Al sustituir, es importante usar paréntesis para que toda la expresión reemplace correctamente a la incógnita.

Veamos cómo se resuelve utilizando el ejemplo anterior.

• 2x + y = 6
• 4x + 3y = 14

Primero, elegimos la incógnita que queremos despejar, utilizando la misma lógica que en el método de igualación. Como la y tiene coeficiente uno en la primera ecuación, despejamos esa misma y la reemplazamos en la segunda ecuación.

2x + y = 6 —> y = 6 - 2x

Ahora reemplazamos y en la ecuación que aún no utilizamos:

• 4x + 3y = 14
• 4x + 3(6 - 2x) = 14
• 4x + 18 - 6x = 14
• 4x - 6x = 14 - 18
• -2x = -4
• x = -4 / -2
• x = 2

Ya sabemos que x vale 2, entonces lo reemplazamos en la ecuación que habíamos despejado para hallar el valor de y.

y = 6 - 2x = 6 - 2 . 2 = 6 - 4 = 2

Entonces, el resultado del sistema de ecuaciones se escribe como un punto en un sistema de coordenadas cartesianas: S = (2, 2). Como comprobación, al sustituir x = 2 e y = 2 en las ecuaciones originales se obtiene 6 = 6 y 14 = 14; así confirmamos que el par satisface ambas.

Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas puede tener diferentes soluciones finales y se clasifican de la siguiente manera:

• Compatible determinado: es un sistema de ecuaciones lineales que posee una única solución, es decir, un solo valor posible para cada una de las incógnitas. Cuando se representa en el plano cartesiano, son las ecuaciones de dos rectas que se cortan en un único punto.
• Compatible indeterminado: es un sistema de ecuaciones lineales que posee infinitas soluciones, es decir, son infinitos los valores que pueden tomar las dos incógnitas. Cuando se representa en el plano cartesiano, son las ecuaciones de dos rectas coincidentes.
• Incompatible: es un sistema de ecuaciones lineales que no posee solución, es decir, no existe un par de valores para las incógnitas que resuelva el sistema. Cuando se representa en el plano cartesiano, son las ecuaciones de dos rectas paralelas, es decir, no se intersecan.

Para distinguir estos casos al resolver el sistema, si se obtiene una igualdad verdadera que no depende de las incógnitas, hay infinitas soluciones; si se obtiene una igualdad falsa, no hay solución.

En esta otra lección te damos las diferencias entre ecuaciones lineales y no lineales.

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