Para saber si un punto pertenece a un plano, utilizamos la fórmula del plano, y reemplazamos los valores del punto para ver si se verifica o no la igualdad. En una nueva lección de unProfesor veremos cómo saber si un punto pertenece a un plano. Recordamos la idea de plano, conocemos su fórmula y la utilizamos para encontrar la respuesta.
¿Cómo sabemos si el punto pertenece o no al plano?
Para saber si un punto pertenece a un plano, primero debemos recordar dos cosas, qué es un plano, y cuál es la ecuación de un plano. Sabiendo estas dos cosas, podemos continuar con el significado de un punto perteneciente a un plano.
Entonces, un plano es una superficie plana que no tiene bordes y se extiende de forma infinita en todas direcciones. Un ejemplo simple, puede ser una hoja de papel gigante, pensando en que esta no tiene fin. Ahora bien, existe una ecuación que representa el plano y se expresa de la siguiente manera:
Ax + By + Cz + D = 0
En esta ecuación podemos ver que A, B y C son los números que determinan para dónde se orienta el plano, mientras que D es un número que ajusta la posición del mismo. Las incógnitas x, y, z son las coordenadas que tiene cualquier punto en el espacio tridimensional. Con esta simple ecuación, podemos escribir los infinitos puntos que existen en el plano.
Sabiendo esta ecuación podemos decir que un punto pertenece a un plano si las coordenadas pertenecientes a ese punto cumplen con la ecuación del plano. Esto significa que si reemplazando las variables x, y, z con los valores del punto en la ecuación que conocimos del plano, la igualdad se cumple, entonces podemos asegurar que el punto pertenece al plano. Si de lo contrario, la igualdad no se cumple, afirmamos que el punto NO pertenece al plano.
Pasos para comprobar si un punto pertenece a un plano
Para saber si un punto determinado pertenece o no al plano, utilizamos esta serie de pasos que mostramos a continuación. Veremos cada uno de los pasos con un ejemplo sencillo, utilizando la ecuación del plano x + y + z - 6 = 0 y el punto P = (1, 2, 3).
Paso 1
Primero debemos identificar cuál es la ecuación del plano. En el ejercicio ya sabemos que la ecuación es x + y + z - 6 = 0, siendo A = 1, B = 1, C = 1 y D = -6.
Paso 2
Para el segundo paso identificamos cuál es el punto. El ejercicio nos indica que el punto es P = (1, 2, 3), es decir x = 1, y = 2 y z = 3.
Paso 3
En el tercer paso, vamos a reemplazar los valores del punto que identificamos en el paso 2, en la ecuación del plano identificado en el paso 1.
- x + y + z - 6 = 0
- 1 + 2 + 3 - 6 = 0
Paso 4
En el cuarto paso resolvemos para comprobar si el resultado es cero o distinto de cero.
- 6 - 6 = 0
- 0 = 0
Paso 5
En el último paso comparamos el resultado, si es igual a cero entonces el punto pertenece al plano, si no es igual a cero, entonces el punto NO pertenece al plano.
Aquí te contamos cómo comprobar si un punto pertenece a una recta.
Ejemplo
En este ejemplo, el punto pertenece al plano.
Veamos un ejemplo donde el punto NO pertenece al plano. Determinar si el punto P = (1, 2, 3) pertenece al plano de ecuación 2x + 3y - z + 5 = 0.
Paso 1: identificar la ecuación del plano. La ecuación es 2x + 3y - z + 5 = 0, siendo A = 2, B = 3, C = -1 y D = 5.
Paso 2: identificamos el punto. En este caso,el punto es P = (1, 2, 3), es decir x = 1, y = 2 y z = 3.
Paso 3: reemplazamos los valores del punto que identificamos en el paso 2, en la ecuación del plano identificado en el paso 1.
- 2x + 3y - z + 5 = 0
- 2 . 1 + 3 . 2 - 3 + 5 = 0
Paso 4: resolvemos para conocer el resultado.
- 2 + 6 - 3 + 5 = 0
- 10 = 0
Paso 5: evaluamos el resultado obtenido. En este caso, el resultado es 10.
Ya que 10 NO es igual a 0, entonces podemos asegurar que el punto NO pertenece al plano.
Interpretación geométrica de un punto perteneciente a un plano
Como casi todo en matemáticas, podemos realizar una interpretación visual y no solo quedarnos con la parte numérica. Cuando un punto pertenece a un plano, es decir que satisface la ecuación del plano, se encuentra exactamente SOBRE el plano, mientras que si no logra satisfacer la ecuación del plano, esto quiere decir que se encuentra por encima o por debajo del plano, y no sobre él.
En la vida cotidiana, este concepto de punto en el plano se aplica a muchas ramas diferentes como física, ingeniería, computación etc. En arquitectura e ingeniería se utilizan los planos para representar todo tipo de superficies planas como ser techos, paredes, terrenos, pisos y más. En el campo de la física, se utilizan los planos para representar trayectorias y superficies de contacto. En computación, se utilizan para los videojuegos y animaciones ya que los objetos están formados por diferentes planos.
Ejercicios prácticos
Teniendo la siguiente ecuación del plano 3x - y + 2z - 4 = 0, determinar si los puntos P = (2, 1, 1) y Q = (1, 7, 4) pertenecen al plano.
Solución
Utilizamos la ecuación del plano 3x - y + 2z - 4 = 0 y reemplazamos el punto P = (2, 1, 1) para comprobar si pertenece o no.
3x - y + 2z - 4 = 0
3 . 2 - 1 + 2. 1 - 4 = 0
6 - 1 + 2 - 4 = 0
3 = 0
Como 3 NO es igual a cero, entonces podemos asegurar que P NO pertenece al plano.
Ahora veamos si el punto Q = (1, 7, 4) pertenece o no al plano.
3x - y + 2z - 4 = 0
3 . 1 - 7 + 2 . 4 - 4 = 0
3 - 7 + 8 - 4 = 0
0 = 0
Por lo tanto Q = (1, 7, 4) pertenece al plano 3x - y + 2z - 4 = 0.
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