Cómo sacar el mínimo común múltiplo

Para entender la idea de mínimo común múltiplo, qué es y como calcularlo, será bueno empezar explicando qué es y cómo se calcula el múltiplo o múltiplos de un número cualquiera. Nada mejor que un ejemplo ilustrativo:

Cojamos un número natural sencillo y recitemos la tabla de multiplicar, por ejemplo, el 7:

• 7 x 1= 7
• 7 x 2= 14
• 7 x 3= 21
• 7 x 4= 28
• 7 x 5= 30

Los números resaltados en negrita, el resultado de las multiplicaciones, son múltiples del número 7. Intentemos definirlo de forma clara, tan clara como nuestro ejemplo.

Los múltiplos de un número cualquiera son los valores que resultan de multiplicar al número original por cualquier valor que queramos. Dado un número al azar, al multiplicarlo obtendremos un múltiplo, así de sencillo.

Como los números son infinitos, los múltiplos de este también lo serán, puesto que siempre existirá un número al que multiplicar el número original, creando otro múltiplo, y otro y otro… hasta el infinito.

Ya sabemos lo que es un múltiplo y la forma de obtenerlo. Avancemos, veamos qué es el mínimo común múltiplo, en adelante m.c.m de dos o más números.

Dejemos momentáneamente la definición clásica y pensemos de forma intuitiva.

Cualquier número tiene infinitos múltiplos. Si cogemos dos, tres o más números, y empezamos a escribir sus múltiplos, tarde o temprano encontraremos valores que se repiten. Veamos el 5 y el 11: Calculemos tranquilamente un puñado de múltiplos de uno y otro sin complicarnos, siguiendo la tabla de multiplicar;

• Múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65...
• Múltiplos de 11: 11, 22, 33, 44, 55, 66,...

Al poco de empezar ya ha aparecido un múltiplo que se repite, el 55. Obviamente, si siguiéramos multiplicando encontraríamos muchos más múltiples repetidos, en realidad son infinitos, pero el 55 por ser el primero, es el más pequeño. A este múltiplo común, que por ser el primero es el más pequeño, es a lo que llamamos el mínimo común múltiplo, o m.c.m. entre dos o más números.

Hasta el momento, para explicarnos de forma sencilla hemos calculado el m.c.cm de forma rudimentaria e intuitiva. Sirvió para comprender los conceptos, pero existe una forma más racional y rápida de calcular el mínimo común múltiple lo veremos a continuación con un par de ejemplos explicados paso a paso:

Ejemplo 1

Vamos a calcular el m.c.m de los números 18 y 20:

1. El primer paso es descomponer a 18 y 20 en números primos
2. Una vez descompuestos los reescribiremos de forma factorizada: 18 = 2 x 3² // 20 = 2² x 5
3. Una vez presentados escogeremos los factores que se repitan elevados al mayor exponente y también aquellos que no se repitan y multiplicarlos. El resultado será el m.c.m que buscamos.

Lo escribiremos tal y como lo mostramos en la imagen adjunta:

Calculemos de nuevo. Esta vez buscaremos el mínimo común múltiple de 21 y 35.

1. Como antes, empezaremos descomponiendo ambos valores en números primos:
2. Reescribamos de forma factorizada: 21 = 3 x 7 // 35 = 5 x 7
3. En ambos casos el número siete se repite, pero en ambos casos es un siete simple, elevado a uno, así que podemos quedarnos cualquiera de ellos. También tendremos en cuenta el 5 y el 3.
4. Estamos listos para multiplicarlos entre ellos y obtener el m.c.m que deseamos: m.c.m (21, 35)= 3 x 5 x 7 = 105

Para terminar esta lección sobre el mínimo común múltiplo, vamos a dejarte algunos ejercicios para que practiques en casa:

Enunciado) Calcula el m.c.m de:

1. m.c.m (6,14, 25)
2. m.c.m (9,15, 30)

Soluciones al ejercicio

Aquí te dejamos las soluciones a los dos ejercicios anteriores para que compruebes tus resultados:

1. solución: 1050
2. solución: 90

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