Es muy sencillo el cálculo de los ángulos interiores de un triángulo, lo más importante es conocer las propiedades de estos, para evitar errores y realizar las operaciones más convenientes para resolverlo.
En esta nueva lección de unProfesor, veremos cómo se calculan los ángulos interiores de un triángulo. Comenzando con sus propiedades, para continuar con la resolución de cada uno de los posibles casos.
Ángulos interiores de un triángulo y las propiedades para su cálculo
Para calcular los ángulos interiores de un triángulo debemos primero recordar las dos particularidades que estos tienen con respecto al hecho de ser parte de un triángulo. Es decir, existen 2 propiedades que tiene cualquier triángulo que nos permiten calcular los ángulos interiores:
- Por un lado sabemos que se llama TRIángulo porque está formado siempre, indistintamente del triángulo que sea, por tres ángulos, de modo tal que debemos conocer los tres ángulos que lo forman. Y por otro lado, existe una propiedad que dice que la suma de los tres ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180° sexagesimales. Esto quiere decir, que los tres ángulos interiores de un triángulo siempre deben complementarse de manera tal que sumen entre todos 180° sexagesimales, ni un grado más ni un grado menos. Lo que facilita la tarea de calcularlos.
- A esta propiedad podemos sumarle otra más que también nos ayuda a encontrar el valor de los ángulos interiores. Y esta consiste en que la suma de un ángulo interior con su exterior da como resultado 180° sexagesimales, es decir que los ángulos interiores y exteriores son suplementarios entre sí.
El triángulo rectángulo, en particular, tiene uno de sus ángulos interiores de 90° sexagesimales, por lo que sabemos que la suma de los dos ángulos interiores restantes es igual a 90° sexagesimales también.
Teniendo estas propiedades en cuenta, veremos un ejemplo de cada caso para saber cómo calcular los ángulos interiores de un triángulo cualquiera.
Cálculo de los ángulos interiores de un triángulo a partir de dos ángulos interiores conocidos
Cuando tenemos dos ángulos interiores conocidos, el cálculo es muy sencillo ya que una de las propiedades que mencionamos antes, es que la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo cualquiera es de 180° sexagesimales. Por lo que planteamos una ecuación simple, y resolvemos.
Ejemplo
Veamos un ejemplo:
Calcular el ángulo interior b de un triángulo, sabiendo que a=30° y c= 55°
Solución
Para calcular b, planteamos la ecuación:
- a + b + c = 180°
- 30° + b + 55° = 180°despejamos b de la ecuación
- b = 180° - 30° - 55°resolvemos la cuenta
- b = 95°
- El ángulo b mide 95° sexagesimales por lo que es un triángulo obtusángulo.
Cálculo de los ángulos interiores de un triángulo a partir de un ángulo interior y un ángulo exterior diferente al conocido
Cuando tenemos el valor de uno de los ángulos interiores y un ángulo exterior diferente, podemos utilizar dos propiedades para resolver los dos ángulos interiores restantes. Primero debemos utilizar la propiedades de los ángulos interiores y exteriores suplementarios, y luego la propiedad de la suma de los ángulos interiores. En este caso, se debe realizar un paso más que en el ejemplo anterior.
Ejemplo
Veamos un ejercicio para comprenderlo.
Calcular el valor de los ángulos interiores a y b de un triángulo que tiene ángulo c=46° y ángulo exterior a b llamado x=135°
Solución
Para calcular a y b, primero debemos hallar el valor de b. Entonces planteamos la ecuación:
- b + x = 180°
- b + 135° = 180°despejamos b
- b = 180° - 135°resolvemos
- b = 45°
Ahora que conocemos el valor de b planteamos la ecuación de la suma de los ángulos interiores.
- a + b + c = 180°
- a + 45° + 46° = 180°despejamos a
- a = 180° - 45° - 46°resolvemos
- a = 89°
El ángulo a mide 89° y el ángulo b mide 45°.
Cálculo de los ángulos interiores de un triángulo a partir dos ángulos exteriores
Cuando conocemos el valor de los ángulos exteriores de un triángulo, debemos primero hacer el cálculo de sus ángulos interiores suplementarios para luego encontrar el resultado del ángulo interior faltante.
Ejemplo
Veamos un ejemplo de cómo realizarlo.
Calcular los ángulos interiores á, b y c de un triángulo cuyos ángulos exteriores de a y b respectivamente son x=125° y z= 162°.
Solución
Para poder calcular los ángulos interiores, debemos utilizar el dato de los exteriores que nos proporciona el ejercicio. Sabemos que a y x son suplementarios y que también b y z lo son. Entonces planteamos las dos ecuaciones para hallar los resultados.
- a + x = 180°
- a + 125° = 180°despejamos a
- a = 180° - 125°resolvemos
- a = 55°
Obtenemos el valor de a = 55°
Planteamos la segunda ecuación
- b + z = 180°
- b + 162° = 180°despejamos b
- b = 180° - 162°resolvemos
- b = 18°
Obtenemos el valor de b = 18°
Ahora bien, tenemos que encontrar el resultado de c, por lo que planteamos la ecuación de la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo. Entonces:
- a + b + c = 180°
- 55° + 18° + c = 180°despejamos c
- c = 180° - 55° - 18°resolvemos
- c = 107°
Por lo tanto los ángulos interiores del triángulo son a = 55°, b = 18° y c = 107°.
Cálculo de los ángulos interiores de un triángulo rectángulo
Cuando queremos calcular los ángulos interiores de un triángulo rectángulo debemos conocer el valor de uno de sus ángulos interiores o exteriores que sea diferente al recto. En cualquiera de los dos casos sabemos qué la suma de los dos interiores que no son el recto suman 90° sexagesimales. También podemos resolverlo sumando los tres ángulos igual a 180° sexagesimales.
Ejemplo
Calcular el valor de los ángulos interiores de un triángulo rectángulo cuyo ángulo exterior al ángulo b es x = 148°. El ángulo c es el ángulo recto.
Solución
Primero debemos hallar el valor del ángulo interior b con el dato de su ángulo exterior suplementario, entonces:
- b + x = 180°
- b + 148° = 180°despejamos b
- b = 180° - 148°resolvemos
- b = 32°
Ahora que conocemos el valor de b, podemos sacar el valor del ángulo a porque ya sabemos que c = 90° por ser recto. Entonces:
- a + b = 90°
- a + 32° = 90°despejamos a
- a = 90° - 32°resolvemos
- a = 58°
El valor de los ángulos interiores del triángulo rectángulo son c = 90°, que ya conocíamos, a = 58° y b = 32°.
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