Existen diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones y son muy fáciles de utilizar en los cálculos matemáticos. En una nueva lección de unProfesor veremos cuántos métodos hay para resolver un sistema de ecuaciones y a cada uno de ellos en profundidad. Realizaremos un ejemplo de cada uno para comprender mejor cómo se utilizan.
Sistemas de ecuaciones y sus métodos de resolución
Para resolver un sistema de ecuaciones existen 4 métodos y estos son:
- Método de sustitución
- Método de igualación
- Método de reducción
- Método gráfico
En general los sistemas de ecuaciones más comunes de trabajar son aquellos 2x2, es decir que tienen dos incógnitas con dos ecuaciones que cumplen con la igualdad.
Veamos cada uno de los métodos para resolver un sistema de ecuaciones sus pasos a seguir con un ejemplo de cómo resolverlos.
Método de sustitución para resolver un sistema de ecuaciones
Para utilizar el método de sustitución vamos a despejar una de las incógnitas de una sola de las ecuaciones, para luego “sustituirla”, es decir reemplazarla en la otra ecuación.
Esto genera que un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se convierta en una simple ecuación con una sola variable. Una vez realizada la ecuación y teniendo el resultado, se “sustituye” o reemplaza este valor encontrado en la ecuación que despejamos y descubrimos el resultado de ambas incógnitas.
Ejemplo del método de sustitución
Realizamos un ejemplo para entenderlo. Queremos hallar la solución del siguiente sistema de ecuaciones:
x - 2y = 1
x + y = 7
Utilizamos la primera ecuación para despejar la variable x, entonces:
x = 1 + 2y
Ahora reemplazamos “x” en la segunda ecuación, entonces:
Ecuación: x + y = 7
Reemplazamos x: 1 + 2y + y = 7
Como tenemos una ecuación simple, resolvemos:
1 + 3y = 7
3y = 7 - 1
3y = 6
y = 6/3
y = 2
Sabiendo que y = 2, reemplazamos en la ecuación que despejamos para hallar el valor de x.
x = 1 + 2y
x = 1 + 2 . 2
x = 1 + 4
x = 5
Por lo tanto, el resultado es x = 5, y = 2.
Método de igualación
Para utilizar el método de igualación lo que hacemos es elegir una de las dos incógnitas, despejar la misma de ambas ecuaciones y luego “igualar” sus ecuaciones.
Una vez hecho esto, el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se convierte en una ecuación simple de una sola variable, por lo que resolvemos y encontramos el resultado. Luego, reemplazamos este valor obtenido en una de las dos ecuaciones que despejamos y hallamos el valor final.
Ejemplo del método de igualación
Realizamos un ejemplo para comprenderlo. Queremos hallar la solución del siguiente sistema de ecuaciones:
2x + y = 7
3x - 2y = 0
Elegimos despejar y de ambas ecuaciones entonces:
2x + y = 7 → y = 7 - 2x
3x - 2y = 0 → y = -3x / -2
Ahora igualamos “y” de la primera ecuación con “y” de la segunda ecuación, entonces:
y = y
7 - 2x = -3x / -2
Ahora trabajamos la ecuación simple como siempre:
7 - 2x = -3x / -2
(7 - 2x) . (-2) = -3x
-14 + 4x = -3x
-14 = -3x - 4x
-14 = -7x
-14 / -7 = x
2 = x
Ahora que sabemos que x = 2, reemplazamos en la ecuación que despejamos al principio, puede ser en cualquier de las dos.
y = 7 - 2x
y = 7 - 2 . 2
y = 7 - 4
y = 3
Entonces, el resultado de este sistema de ecuaciones es x = 2, y = 3.
Método de reducción para resolver un sistema de ecuaciones
Para utilizar el método de reducción, debemos tener en cuenta que vamos a sumar o restar las dos ecuaciones, según convenga, para “eliminar” una de las variables. Una vez realizado esto, la nueva ecuación que tenemos, es simple y con una sola variable. Luego de saber cuánto vale una, sustituimos y hallamos el valor de la otra variable en alguna de las ecuaciones principales.
Ejemplo del método de reducción
Realizamos un ejemplo para entender el método. Queremos hallar el resultado del siguiente sistema de ecuaciones:
5x + 2y = -15
x + 2y = 9
Como podemos ver, la variable y se encuentra acompañada en ambos casos por el número 2. Por lo tanto, podríamos “restar” las ecuaciones para “eliminar” esa variable. Entonces:
5x + 2y = -15
-
x + 2y = 9
—--------------
4x - 0x = -24
Ahora tenemos una ecuación simple para resolver.
4x = -24
x = -24 / 4
x = -6
Una vez hallada x, la reemplazamos en una de las ecuaciones y obtenemos el resultado de y.
x + 2y = 9
-6 + 2y = 9
2y = 9 + 6
2y = 15
y = 15/2
Por lo tanto, el resultado del sistema de ecuaciones es x = -6, y = 15/2.
Método gráfico
Otro de los métodos para resolver un sistema de ecuaciones es el método gráfico. Estamos hablando de realizar la gráfica de ambas ecuaciones, como si fueran independientes entre sí, pero sabiendo que el punto donde se intersecan, es aquel que da lugar al resultado de (x,y). Es decir, que sabiendo en qué punto se cruzan las gráficas, hallamos así la solución del sistema de ecuaciones.
Ejemplo del método gráfico
Realizamos un ejemplo para comprenderlo. Queremos encontrar la solución del siguiente sistema de ecuaciones:
x + y = 6
y - x = 2
Lo primero que debemos hacer, es despejar “y” de ambas ecuaciones para graficarla. Entonces:
y = 6 - x
y = 2 + x
En la primera ecuación cuando y = 0, x = 6. Y cuando x = 0 y = 6.
En la segunda ecuación cuando y = 0, x = -2. Y cuando x = 0, y = 2.
La gráfica de ambas funciones queda como en la imagen debajo. Ambas se cruzan en el punto x = 2, y = 4, hallando de esta manera la solución del sistema.
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