Para resolver sistemas de inecuaciones debemos resolver como primera medida las inecuaciones de forma independiente, para luego encontrar el conjunto solución donde los diferentes resultados coinciden. Se utiliza una gráfica numérica para escribir el resultado de cada una de las inecuaciones individuales, y luego se interpreta donde coinciden.
En esta nueva lección de unProfesor veremos ejercicios para resolver un sistema de inecuaciones con soluciones. Primero veremos cuáles son los pasos a seguir, qué debemos tener en cuenta a la hora de resolver los ejercicios, y para finalizar algunos ejercicios que realizar.
¿Cómo se resuelve un sistema de inecuaciones?
Un sistema de inecuaciones es un conjunto de dos o más inecuaciones que se resuelven de manera conjunta. Recordemos que las inecuaciones establecen una relación que es de desigualdad entre dos cantidades a diferencia de las ecuaciones que buscan la igualdad entre dos expresiones matemáticas.
Es decir, que las inecuaciones buscan representar un rango de ciertos valores.
En esta otra lección de unProfesor te descubrimos cuáles son los tipos de inecuaciones y
¿Cuáles son los pasos para resolver un sistema de inecuaciones?
Los pasos para resolver un sistema de inecuaciones son muy sencillos, ya que operamos en principio como si estuviéramos tratando una ecuación, teniendo en cuenta las propiedades que tienen las inecuaciones por supuesto.
Paso 1
Para resolver un sistema de inecuaciones, primero se debe resolver cada una de las inecuaciones de forma independiente, es decir cada inecuación por separado. Para ello, se despeja la incógnita, dejándola de un lado de la desigualdad mientras que del otro lado se dejará un número.
Recordemos que las inecuaciones tienen la propiedad que establece que si al aplicar la propiedad cancelativa de la multiplicación o división por un número negativo, debemos rotar el signo de la desigualdad para que esta se mantenga igual.
Paso 2
Una vez hallados los resultados de las inecuaciones de manera independiente, graficamos una a una las soluciones en diferentes rectas numéricas, es decir una para cada intervalo de solución. Esto lo hacemos teniendo en cuenta que, se marca el número obtenido en la solución de la inecuación y:
- Si el signo es > (mayor que) entonces la parte de la recta que se dibuja es hacia la derecha.
- Si el signo es < (menor que) entonces la parte de la recta que se dibuja es hacia la izquierda.
- Si el signo es (mayor o igual a que) entonces la parte de la recta que se dibuja es hacia la derecha y se incluye el número del resultado de la incógnita.
- Si el signo es (menor o igual a que) entonces la parte de la recta que se dibuja es hacia la izquierda y se incluye el número del resultado de la incógnita.
Paso 3
En el último paso para resolver un sistema de inecuaciones simplemente vamos a encontrar el resultado del sistema de inecuaciones, y lo hacemos interpretando las partes sombreadas entre las distintas gráficas que realizamos de las inecuaciones.
Es decir, el intervalo que se encuentra dibujado en todas las gráficas, será el conjunto solución del sistema de inecuaciones. En este caso, debemos tener en cuenta que:
- Los números que están incluidos en el resultado se escriben en el intervalo con un corchete, es decir que si está incluido en la solución se abre o cierra con corchetes.
- Los números que NO están incluidos en el resultado se escriben en el intervalo con un paréntesis, es decir que si NO está incluido se abre o cierra con paréntesis. Debemos tener en cuenta que los infinitos, tanto positivo como negativo, jamás están incluidos, ya que no conocemos cuál es el número.
Ejemplo de cómo resolver un sistema de inecuaciones
Para aprender cómo resolver un sistema inecuaciones, resolvemos el siguiente sistema siguiendo los pasos antes mencionados.
2x + 3 1
-x + 2 > -1
Primero resolvemos cada una de las inecuaciones de manera individual, entonces:
2x + 3 1
2x 1 - 3
2x -2
x -2 / 2
x -1
El intervalo de solución es [-1, ). La gráfica de esta inecuación está representada en rosa, incluye el número -1.
-x + 2 > -1
- x > -1 - 2
- x > -3
x < -3 / -1
x < 3
El intervalo de solución es (-, 3). La gráfica de esta inecuación está representada en azul, no incluye al número 3.
El conjunto solución entonces del sistema de ecuaciones, teniendo en cuenta las gráficas de ambas soluciones, es [-1,3).
Ejercicios de sistema de inecuaciones lineales con una incógnita
Vamos a dejarte ejercicios sobre cómo resolver un sistema de inecuaciones son soluciones para que puedas practicar en casa.
Enunciado: Resuelve los siguientes ejercicios, buscando el conjunto solución.
a- 2x + 1 -5
x - 3 < -2
b- 2x + 1 < 3
3x + 2 > 6
Soluciones
a- 2x + 1 -5
x - 3 < -2
2x + 1 -5
2x - 5 - 1
2x -6
x -6 / 2
x -3
Intervalo solución= [-3 , + )
x - 3 < -2
x < -2 + 3
x < 1
Intervalo solución= (-, 1)
El conjunto solución del sistema de inecuaciones es [-3, 1).
b- 2x + 1 < 3
3x + 2 > 6
2x + 1 < 3
2x < 3 - 1
2x < 2
x < 2 / 2
x < 1
Intervalo solución= (-,1)
3x + 2 > 6
3x > 6 - 2
3x > 4
x > 4/3
Intervalo solución= (4/3,+)
El conjunto solución del sistema de inecuaciones es (1,4/3).
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