Elementos de un vector

Los vectores son sumamente importantes en las matemáticas ya que tanto la física como la ingeniería y tantas otras disciplinas de la ciencia los utilizan. Los vectores representan fuerzas, velocidades, aceleraciones y también datos en la inteligencia artificial. Además son necesarios para describir ciertas magnitudes que tienen valores que son numéricos pero también una cierta dirección.

Cuando pensamos en un vector se nos viene a la mente un dibujo de una flecha en el espacio, pero debemos saber que el significado que los vectores tienen es bastante más amplio que eso. Los vectores están formados por una serie de elementos que caracterizan a cada uno de ellos y permite que se diferencien de otros. Es necesario comprender estos elementos para poder interpretar las operaciones con vectores y las aplicaciones que tienen.

Un vector se representa con un segmento de recta en el espacio y tiene la particularidad de que posee módulo, dirección y sentido. Es decir, los vectores se diferencian de cualquier otro valor numérico, o cantidad escalar, como suele llamarse en estos temas, ya que además de este valor numérico, también cuenta con la posibilidad de representar desplazamientos, aceleraciones y velocidades entre otras por su dirección y sentido.

El origen de la flecha que representa gráficamente un vector se denomina origen y la punta de la flecha se llama extremo final que indica el destino del vector.

Los vectores se posicionan en los ejes cartesianos con dos valores, uno en x y otro en y, indicando cuántos lugares se mueve de forma horizontal y cuántos de forma vertical.

Ejemplo

v = (5,3) es un vector que se mueve cinco lugares en el eje x y tres lugares en el eje y.

En el caso de representar un vector en el espacio, agregamos el eje z. Por ejemplo:

v = (4,1,3) es un vector que se mueve cuatro lugares en el eje x, un lugar en el eje y, y tres lugares en el eje z.

Los elementos de un vector son aquellos que permiten diferenciarlo o identificarlo de los demás vectores. Como mencionamos antes, conocer los elementos es esencial para entender el comportamiento y para utilizarlo en las operaciones vectoriales. Los elementos de cualquier vector son los siguientes.

Módulo

La magnitud o módulo de un vector representa la longitud que tiene, es decir es un número que representa la intensidad de la magnitud que estamos representando. En el plano, el módulo se calcula con el teorema de Pitágoras. Si tenemos un vector v = (x,y) entonces la fórmula para calcular el módulo es la siguiente:

|v| = raíz cuadrada (x² + y²)

Al ser una medida de longitud el resultado siempre será positivo, recordemos que módulo representa la distancia de un número al cero.

Por ejemplo, tenemos el vector v = (2,1) y queremos calcular el módulo, entonces utilizamos la fórmula y obtenemos la magnitud.

• |v| = raíz cuadrada (2² + 1²)
• |v| = raíz cuadrada (4 + 1)
• |v| = raíz cuadrada 5
• |v| = 2.2 aprox.

Dirección

La dirección de un vector representa la orientación que tendrá este sobre la recta en la que se encuentra. Existen infinitos vectores que tienen la misma dirección, pero se diferencian de los demás por su magnitud. Por ejemplo, si dos vectores están ubicados sobre el eje y tendrá la misma dirección, pero no necesariamente el mismo módulo.

La dirección, en matemáticas, generalmente se expresa como un ángulo con respecto al eje de las x.

Sentido

El sentido de un vector es la forma que tiene este de indicar hacia cuál de los dos sentidos apunta el mismo. Es decir, la flecha tiene dos extremos, y el sentido es aquel que nos indica hacia donde apunta. Dos vectores que poseen la misma dirección, por ejemplo en el eje horizontal, con sentidos diferentes son vectores que representan dos cosas completamente diferentes, es decir uno apunta a la izquierda, mientras que otro apunta hacia la derecha.

Punto de aplicación

El punto de aplicación, también llamado origen del vector indica donde comienza este. Este elemento es de suma importancia sobre todo en física ya que representa en qué punto actúan las fuerzas sobre un cuerpo. En matemáticas, se suele trabajar con los vectores libres, es decir sin este punto de aplicación, ya que este no modifica las propiedades del vector y al realizar cálculos, no es necesario que tenga punto de origen, pero sí módulo, dirección y sentido.

Componentes

Los componentes de un vector son aquellos valores numéricos que representan el desplazamiento que tendrá el vector en el plano o espacio. Es decir, aquellos valores que indican cuántos lugares se moverá en cada eje. En el plano, tenemos el componente horizontal (eje x) y el componente vertical (eje y), mientras que en el espacio, además de los dos componentes ya mencionados tenemos el componente tridimensional (eje z).

Representación de un vector

Se pueden utilizar varias maneras para representar a los vectores dependiendo de la forma en que más nos conviene utilizar.

• Representación geométrica: esta manera es la más intuitiva ya que se utiliza el dibujo de la flecha para ello. El módulo se representa con la longitud de la flecha, la dirección con la inclinación que le demos a la flecha y el sentido con la punta de la misma.
• Representación cartesiana: este tipo de representación se realiza mediante los componentes del vector, es decir si es en el plano, serán dos componentes numéricos, si es el espacio son tres. Por ejemplo: v = (4,8) vector en el plano, o v = (-3,5,4) vector en el espacio.
• Representación con vectores unitarios: esta representación se realiza teniendo en cuenta que los vectores unitarios son i para el eje x, j para el eje y, y k para el eje z. Entonces, escribimos como una suma de vectores unitarios al vector para representarlo. Por ejemplo, un vector en el plano, se puede escribir como v = 4i + 8j, mientras que el vector en el espacio se escribe como v = -3i + 5j + 4k.

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