Las inecuaciones con fracciones son aquellas desigualdades que tiene alguna o varias fracciones dentro de ella. Se suele seguir una serie de pasos para resolverlas que son muy sencillos de recordar. En una nueva lección de unProfesor veremos inecuaciones con fracciones con ejercicios. Estudiaremos los pasos a seguir para resolverlas y algunos ejemplos para comprender cómo hacerlo.
Qué son las inecuaciones con fracciones
Las inecuaciones con fracciones son aquellas desigualdades donde uno o más términos son fracciones. Esto quiere decir que hay cocientes dentro de las inecuaciones que debemos resolver para hallar el conjunto solución de la desigualdad.
Recordemos que las inecuaciones se resuelven de la misma manera que una ecuación lineal pero se debe tener en cuenta que cuando multiplicamos o dividimos por un número negativo, el signo de la desigualdad cambia de lado.
Cuando tenemos inecuaciones con fracciones, debemos resolver las desigualdades teniendo en cuenta los denominadores, es decir que debemos buscar uno común o eliminándolo, multiplicando ambos miembros por el común múltiplo.
El conjunto solución de las inecuaciones con fracciones se obtiene de igual forma que cualquier inecuación, se despeja la incógnita y se encuentra la desigualdad final.
Aquí te descubrimos los diferentes tipos de inecuaciones.
¿Cómo resolver una inecuación con fracciones?
Cuando las inecuaciones tienen fracciones, la manera de resolverlas es siguiendo una serie de pasos para convertir una inecuación con fracciones en una inecuación lineal que podemos tratar sin problema. Estos pasos son los siguientes:
- Paso 1: cuando tenemos más de una fracción, debemos hallar el mínimo común múltiplo entre todos los denominadores que forman parte de la inecuación.
- Paso 2: multiplicar todos los términos por el mínimo común múltiplo que hallamos en el paso 1. Con esto conseguimos “eliminar” los denominadores de todas las fracciones.
- Paso 3: Realizar las multiplicaciones correspondientes, esto quiere decir que en algunos casos, “eliminar” los denominadores nos deja con algunas multiplicaciones pendientes que debemos resolver y debemos estar atentos a que en muchos casos, hay que aplicar la propiedad distributiva.
- Paso 4: Agrupar las incógnitas de un lado de la desigualdad y los valores sin ellas del otro lado. Resolver hasta que solo tengamos un término de cada lado.
- Paso 5: Despejar la incógnita teniendo en cuenta que cada vez que multiplicamos o dividimos por un número negativo, debemos “girar” es decir cambiar de sentido el signo de desigualdad.
- Paso 6: Escribir el conjunto solución de la inecuación con fracciones.
Ejemplos de inecuaciones con fracciones
Uno de los ejercicios más sencillos de las inecuaciones con fracciones, es cuando tenemos una incógnita como numerador de una fracción en un sólo término. De esta forma, únicamente debemos realizar la “eliminación” del denominador y resolver como si fuera una inecuación lineal común y corriente.
Veamos un ejemplo:
(3 - x) / 4 > 2
En este caso, tenemos un denominador numérico que podemos “eliminar” fácilmente. Entonces:
3 - x > 2 . 4
3 - x > 8
Despejamos el número 3.
-x > 8 - 3
-x > 5
Como tenemos la incógnita negativa, debemos dividir por -1 y por lo tanto cambiar el signo desigual de lado.
x < -5
El resultado se lee como todos los números que son menores a -5 y se escribe (-∞, -5).
Ahora bien, existen otro tipo de ejercicios que tienen una pequeña complejidad más, que es cuando hay más de un término y tenemos fracciones en todos ellos. Un ejemplo podría ser el siguiente.
Queremos obtener el conjunto solución de la siguiente inecuación con fracciones:
(2x+1)/3 + (x-1)/2 > 5/6
Vemos que tenemos fracciones en todos los términos, por lo tanto debemos primero buscar el mínimo común múltiplo entre ellos. En este caso, el mínimo común múltiplo entre 2, 3 y 6 es 6, entonces multiplicamos todos los términos por 6 para “eliminar” los denominadores.
6 . (2x+1)/3 + 6 . (x-1)/2 > 6 . 5/6
Ahora podemos pensar que tenemos tres fracciones diferentes a las anteriores en los términos y de esta manera realizarlas para obtener un resultado, es decir:
6/3 . (2x+1) + 6/2 . (x-1) > 6/6 . 5
Resolvemos las divisiones y escribirnos los resultados, entonces:
2 . (2x+1) + 3 . (x-1) > 5
De esta forma, eliminamos los denominadores y tenemos una inecuación lineal común para resolver sin problemas.
4x + 2 + 3x - 3 > 5
4x + 3x > 5 - 2 + 3
7x > 6
x > 6/7
El resultado son todos aquellos números que son mayores que 6/7, por lo que escribimos el conjunto solución de la siguiente manera: (6/7, +∞).
Aquí te dejamos más ejercicios de inecuaciones racionales.
Ejercicios de inecuaciones con fracciones
Realiza algunos ejercicios para practicar sobre el tema
1- Hallar la solución para la inecuación
(x + 2) / 4 > 5
2- Encontrar el conjunto solución de la siguiente inecuación
5x/3 - (3+9x)/4 > x/2
Soluciones
1- Resolvemos la inecuación
(x + 2) / 4 > 5
Al ser un sólo término, despejamos el denominador
x + 2 > 5 . 4
x + 2 > 20
Ahora despejamos el 2 para hallar la solución
x > 20 - 2
x > 18
El resultado de la inecuación son todos los números mayores a 18 y se escribe (18, +∞).
2- Resolvemos la inecuación
5x/3 - (3+9x)/4 > x/2
Como los tres términos tienen denominadores numéricos diferentes, buscamos el mínimo común múltiplo para ellos. Entre 3, 4 y 2 es 12, por lo tanto multiplicamos todos los términos por 12 para “eliminar” los denominadores.
12 . 5x/3 - 12 . (3+9x)/4 > 12 . x/2
Agrupamos las divisiones y resolvemos
12/3 . 5x - 12/4 . (3+9x) > 12/2 . x
4 . 5x - 3 . (3+9x) > 6 . x*aplico propiedad distributiva en el segundo término
20x - 9 - 27x > 6x
20x - 27x - 6x > 9
-13x > 9*cambiamos el signo desigual al dividir por -13.
x < -9/13
El resultado entonces se lee como todos los números que son menores que -9/13 y se escribe (-∞, -9/13).
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