Inecuaciones de segundo grado: con ejercicios

Las inecuaciones de segundo grado son aquellas en las que la incógnita se encuentra elevada al cuadrado, es decir que el grado de la inecuación es dos.

Recordemos que una inecuación es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas, donde podemos encontrar números, una incógnita y un símbolo que las une que puede ser, mayor, menor, mayor o igual, y menor o igual.

En el caso de las inecuaciones de segundo grado, la mayor potencia a la que se eleva la incógnita es dos, por lo tanto no puede haber ninguna otra incógnita elevada a una potencia mayor. Estas inecuaciones también pueden llamarse de grado dos o inecuaciones cuadráticas.

La solución que encontraremos al momento de resolver inecuaciones, será un conjunto de valores que satisfacen la desigualdad, es decir, a diferencia de las ecuaciones en las que hallamos un valor, en las inecuaciones encontramos una cantidad de valores que se corresponden con el resultado.

En esta otra lección te descubrimos los tipos de inecuaciones que existen.

Algunos ejemplos de inecuaciones de segundo grado pueden ser:

• 2x² + 5x - 3 > 0
• 4x² + 2 < 2x + 5
• -7x + 6x² >= 3x² - 9
• -12x - 7x² + 4 <= 6x² + 5x - 3
• 4x > 3x² - 8x - 5

Para poder resolver inecuaciones de segundo grado, debemos seguir determinados pasos que nos ayudarán a encontrar las soluciones. Para ello, se utiliza la llamada “resolvente” que es la misma fórmula que se utiliza a la hora de resolver ecuaciones cuadráticas. Si tenemos una inecuación de la forma:

ax² + bx + c > 0

La fórmula es la siguiente:

x+ =(-b + raíz cuadrada (b² - 4 . a . c) ) / 2 . a y x- =(-b - raíz cuadrada (b² - 4 . a . c) ) / 2 . a

Con esta fórmula, podemos obtener como resultado dos valores de la incógnita, un sólo valor o ninguno.

Pasos a seguir para resolver las inecuaciones de segundo grado

1. Paso 1: el primer paso es ordenar la inecuación, es decir debemos colocar todos los valores y las incógnitas de un lado de la desigualdad para que en el otro lado se encuentre un cero, y además ordenar las potencias de mayor a menor.

2. Paso 2: una vez ordenada la inecuación debemos obtener una inecuación de la forma: ax² + bx + c > 0 o también
3. ax² + bx + c < 0.
4. Paso 3: utilizaremos la fórmula de la resolvente para hallar los valores límites que tendrá nuestro conjunto solución, ya que como mencionamos anteriormente, encontraremos valores que cumplen con la desigualdad.
5. Paso 4: una vez realizada la resolvente, podemos tener tres tipos de soluciones que son: ninguna solución, una sola solución o dos soluciones.

Qué hacer si el resultado es ninguna solución

En este caso debemos pensar en dos soluciones posibles:

• ax² + bx + c > 0 Todos los valores reales cumplen con la inecuación, es decir que x puede tomar cualquier valor real.
• ax² + bx + c < 0 Ningún valor cumple con la desigualdad, por lo tanto x no puede tomar ningún valor real.

Qué hacer si el resultado es una solución

Obtenemos como resultado una sola solución de x a la que llamaremos x1. En este caso planteamos la solución de la resolvente, de la misma forma que hacemos con las ecuaciones, entonces:

ax² + bx + c > 0 → (x - x1)2 > 0 → (x - x1).(x - x1) > 0

Podemos asegurar que:

• (x - x1) > 0 → x > x1
• y también
• (x - x1) < 0 → x < x1

Consideramos esto ya que el producto entre dos valores es positivo tanto si los dos son negativos como positivos.

Entonces, el conjunto solución de la inecuación son todos los valores de x mayor a x1 y todos los valores de x menor a x1.

Qué hacer si el resultado son dos soluciones

Obtenemos como resultado dos soluciones a las que llamaremos x1 y x2. En este caso también planteamos la solución de la resolvente como en el caso de las ecuaciones.

Si ax² + bx + c > 0 → (x - x1).(x - x2) > 0

Podemos decir que:

• (x - x1) > 0 y (x - x2) > 0x > x1 y x > x2
• o
• (x - x1) < 0 y (x - x2) < 0x < x1 y x < x2

Si x1

Si ax² + bx + c < 0 → (x - x1).(x - x2) < 0

Podemos decir que:

• (x - x1) > 0 y (x - x2) < 0x > x1 y x < x2
• o
• (x - x1) < 0 y (x - x2) > 0x > x1 y x > x2

Si x1

Vamos a hacer un ejercicio de inecuaciones de segundo grado para que practiques en casa. ¡Tienes el resultado más abajo!

Ejercicio: Tenemos la siguiente inecuación a la cual debemos hallar su resultado.

x² + 2x > 15

Solución

Seguimos los pasos para resolver

x² + 2x > 15

Ordenamos la inecuación

x² + 2x - 15 > 0

Aplicamos la resolvente y factorizamos

x1 = -5 y x2 = 3

(x - 3) . (x + 5) > 0

Escribimos los intervalos posibles

(x - 3) > 0 y (x + 5) < 0x > 3 y x < -5

o

(x - 3) < 0 y (x + 5) > 0x > 3 y x > -5

Como la inecuación debe responder a la desigualdad >0 entonces, elegimos los intervalos que cumplen con el resultado. Entonces:

x > 3 y x < -5

Y se escribe como:

S= (-; -5) U (3; +)

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