Las inecuaciones racionales son aquellas que poseen en su estructura una expresión algebraica fraccionaria. Es decir, que la desigualdad está planteada a partir de una o más fracciones. Para resolverlo, se realizan ciertos gráficos que permiten calcular cuál es el intervalo de soluciones. En una nueva lección de unProfesor veremos inecuaciones racionales con ejercicios. Comenzamos por los pasos para resolver una inecuación racional, sus gráficos de positivos y negativos, y luego unos ejercicios.
Qué son las inecuaciones racionales
Las inecuaciones racionales hacen referencia a aquellas inecuaciones que contienen fracciones en su desarrollo, es decir que son inecuaciones con fracciones algebraicas.
Para resolver las inecuaciones racionales, generalmente se deja de un lado de la desigualdad la expresión algebraica fraccionaria y del otro lado de la desigualdad un cero.
Lo más importante de este tipo de inecuaciones es recordar que los denominadores de cualquier fracción no pueden ser cero, por lo que siempre debemos dejar “fuera” del intervalo de soluciones a ese valor que convierte al denominador en cero.
Ejemplo de inecuación racional
Un ejemplo de inecuación racional es el siguiente:
x+4 / x-3 > 0
Aquí te contamos qué es una inecuación y ejemplos.
Cómo resolver inecuaciones racionales
Cuando resolvemos una inecuación, lo que intentamos hacer es encontrar el conjunto solución que cumple con la desigualdad de la misma. En una inecuación racional, así como en cualquier función racional, debemos encontrar en qué intervalo la desigualdad es positiva y negativa.
Para esto, debemos seguir una serie de pasos que nos permitan hallar los valores de la solución. Los pasos a seguir son los siguientes:
- Primero se debe acomodar la expresión fraccionaria de un solo lado de la desigualdad mientras que en el otro agregaremos un cero.
- Segundo debemos hallar cuáles son los valores que anulan al numerador, es decir aquellos números que hacen cero el numerador.
- Tercero debemos hallar los valores que anulan al denominador, para saber cuáles son aquellos números que NO serán parte de la solución, ya que los denominadores de una fracción jamás pueden ser iguales a cero.
- Cuarto debemos realizar en una recta la representación de los signos positivos y negativos, además de aquellos puntos que NO serán parte de la solución.
- Quinto encontrar los intervalos en los que se cumple la desigualdad de la inecuación, para de esta manera hallar el conjunto solución.
Aquí te descubrimos los diferentes tipos de inecuaciones y ejemplos. Y también te contamos cómo resolver inecuaciones paso a paso.
Ejercicios de inecuaciones racionales - resueltos
Vamos a dejarte ejercicios de inecuaciones racionales con solución para que puedas practicar en casa.
Ejercicio 1
Hallar el conjunto solución de la inecuación:
x - 5 / x + 1 < 0
Solución
En la inecuación x - 5 / x + 1 < 0 tenemos x - 5 en el numerador y x + 1 en el denominador. Si seguimos los pasos antes mencionados, podemos notar que el primero no tenemos necesidad de realizarlo, ya que la inecuación se encuentra del modo en que debemos dejarla en el paso uno.
En el paso dos debemos hallar qué valores “anulan” el numerador que es x - 5 por lo tanto:
- x - 5 = 0
- x = 5
El número 5 es el único que anula al numerador.
En el paso tres, debemos encontrar qué valores anulan al denominador que es x + 1 por lo tanto:
- x + 1 = 0
- x = -1
El valor -1 es el único número que anula al denominador, por lo tanto NO formará parte de la solución.
En el cuarto paso debemos representar los gráficos positivos y negativos de las soluciones (ver la imagen debajo), entonces:
- numerador x - 5: el punto crítico es el cinco, ya que NO está incluido en la solución por anular el denominador. Entonces del 5 hacia la izquierda el resultado del numerador será negativo, mientras que a la derecha del 5 cualquier resultado será positivo.
- denominador x + 1: el punto crítico en este caso es -1, cualquier número a la izquierda de -1 da como resultado un número negativo, mientras que a la derecha del -1 serán todos positivos.
- fracción de la inecuación x - 5 / x + 1: observando la imagen de los tres gráficos de positivos y negativos, podemos ver que del menos infinito al -1 los dos primeros gráficos son negativos, por lo tanto, según la regla de los signos el resultado será positivo. En el intervalo de -1 a 5 podemos ver que en el primer gráfico es negativo, mientras que en el segundo es positivo, por ello el resultado será negativo. Y en el último tramo del 5 al infinito vemos que las dos gráficas son positivas y entonces el resultado tendrá que ser también positivo.
Para entender la solución, debemos recordar que la inecuación plantea la siguiente desigualdad:
x - 5 / x + 1 < 0
Es decir, que el resultado de la misma, debe ser negativo para que cumpla con la condición de ser menor que cero. Es por ello, que el único intervalo que lo cumple es (-1,5), el intervalo del centro de las gráficas. Tanto el -1 como el 5 NO están incluidos, ya que ambos números convierten en cero la inecuación, y este no forma parte de la solución.
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