Las operaciones con números racionales son las mismas que pueden utilizarse con los números naturales y los números enteros, pero se debe tener en cuenta que en la suma y en la resta necesitamos contar con el mismo denominador para poder realizarla.
En una nueva lección de unProfesor veremos operaciones con números racionales con ejercicios resueltos.
¿Qué son las operaciones con números racionales?
Para comenzar a hablar sobre las operaciones con números racionales, primero debemos recordar qué es un número racional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros. Es decir, como la división entre dos números pertenecientes al conjunto de los enteros. Se representan como una fracción a/ba/ba/b, donde aaa y bbb son enteros y b≠0b neq 0b=0. Además, los números racionales también pueden escribirse en forma decimal, ya que la división entre dos enteros no siempre da como resultado otro número entero.
En la representación como fracción, el denominador (bbb) indica en cuántas partes iguales se divide el entero, mientras que el numerador (aaa) indica cuántas de esas partes se toman en cuenta.
Las operaciones con números racionales son las operaciones matemáticas que podemos realizar con ellos, como sumar, restar, multiplicar y dividir, entre otras.
- Por ejemplo, si queremos saber cuánto tenemos en total de 1/2 kg de harina de una bolsa y 3/4 kg de la misma harina de un frasco, podemos utilizar la suma para obtener el total.
Por otra parte, si estamos realizando una receta de cocina y necesitamos aumentar los ingredientes, podemos usar la multiplicación.
- Por ejemplo, si la receta original pide 1/4 kg de azúcar y queremos hacer el doble, multiplicamos todas las cantidades por dos para obtener la cantidad deseada.
Además, si quieres profundizar en los números racionales, no te pierdas estos artículos:
- Tipos de números racionales
- Para qué sirven los números racionales
¿Cuáles son las operaciones con números racionales?
Las operaciones con números racionales son las mismas que utilizamos con los números naturales y los números enteros. Como bien mencionamos anteriormente, tenemos la adición de números racionales, la diferencia, multiplicación y división. Pero también podemos agregar la potenciación y radicación. Por supuesto, que cada conjunto numérico tiene diferentes propiedades para utilizar estas operaciones. Existen dos operaciones que únicamente se utilizan con los números racionales, y es la de buscar fracciones equivalentes, ampliando o simplificando.
Las fracciones equivalentes son aquellas que representan la misma parte de un entero, esto quiere decir que siempre que realicemos el cociente entre los dos números enteros de las fracciones que son equivalentes, el resultado será el mismo.
Por ejemplo, 3/5 es equivalente a 6/10 y también a 9/15. Si realizamos las tres divisiones, encontramos que el resultado final es el mismo.
- 3/5 = 0.66/10 = 0.69/15 = 0.6
Para ampliar fracciones equivalentes debemos multiplicar el numerador y denominador por el mismo número. En el ejemplo anterior a 3/5 lo multiplicamos por 2 para obtener 6/10 y también lo multiplicamos por 3 para obtener 9/15.
Para simplificar fracciones equivalentes, realizamos el paso inverso, es decir que dividimos tanto numerador como denominador por el mismo número, que debe ser divisible por ambos. Por ejemplo 60/24 podemos simplificarlo por 2, por 3, por 6, y por 12. Obtenemos de esta manera las diferentes fracciones equivalentes.
- 60/24 = 60:2 / 24:2 = 30/12
- 60/24 = 60:3 / 24:3 = 20/8
- 60/24 = 60:6 / 24:6 = 10/4
- 60/24 = 60:12 / 24:12 = 5/2
Esta última fracción que obtenemos, se llama fracción irreducible, porque ya no podemos seguir simplificando.
¿Cómo sumar números racionales con diferente denominador?
Cuando queremos sumar o restar números racionales debemos tener en cuenta que para hacerlo, deben tener el mismo denominador, de lo contrario estas operaciones no pueden realizarse. Por ejemplo, si queremos sumar 1/7 + 5/7 lo único que debemos hacer es sumar los numeradores, y obtenemos la cantidad que deseamos conocer.
- Por ejemplo, 1/7 + 5/7 = 6/7
Pero en el caso de los diferentes denominadores, debemos buscar uno que sea común a ambos y luego hallar las fracciones equivalentes con este mismo denominador, para intentar sumar o restar después. En este caso, se busca el máximo común divisor (MCD) entre los denominadores. Veamos un ejemplo para comprenderlo. Queremos realizar la siguiente cuenta:
2/3 + 5/4 =
Como tienen diferente denominador, debemos hallar el MCD, entonces buscamos los múltiplos de 3 y 4.
3: 3, 6, 9, 12, 15, 18….
4: 4, 8, 12, 16….
El primer número que se repite en ambos es el 12, por lo tanto, lo utilizamos como denominador.
Ahora bien, si el nuevo denominador es 12, debemos hallar las fracciones equivalentes con ese denominador.
A 2/3 si queremos utilizar 12 de denominador, debemos pensar qué número multiplicamos a 3 para obtener 12 para luego multiplicar al numerador por ese mismo número. Entonces 3x4 = 12, por lo que debemos multiplicar también al 2 x 4.
2 x 4 / 3 x 4 = 8/12
A 5/4 si queremos utilizar el 12 como denominador, debemos realizar el mismo paso que en la fracción anterior. Entonces:
5 x 3 / 4 x 3 = 15/12
Ahora sí, podemos sumar las fracciones:
2/3 + 5/4 = 8/12 + 15/12 = 23/12
Para realizar diferencia de números racionales, aplicamos la misma idea. Buscar un denominador común para los denominadores, y luego las fracciones equivalentes, antes de realizar la resta.
Ejercicios de operaciones con números racionales resueltos
Resolver las siguientes operaciones con números racionales.
a- 3/4 + 5/2 =
b- 8/7 - 1/3 =
c- 1/4 + 3/2 - 2/5 =
Soluciones
a- 3/4 + 5/2 =
Primero buscamos un denominador común entre ellos.
4: 4, 8, 12, 16….
2: 2, 4, 6, 8….
El número es 4. Ahora fracciones equivalentes.
La fracción equivalente de 3/4 es 3/4 porque:
4 x 1 = 4
3 x 1 = 3
Y la fracción equivalente de 5/2 es 10/4 porque:
2 x 2 = 4
5 x 2 = 10
Ahora juntamos:
3/4 + 5/2 = 3/4 + 10/4 = 13/4
b- 8/7 - 1/3 =
Como los denominadores son diferentes, buscamos el común:
7: 7, 14, 21, 28….
3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24….
El denominador ahora sería 21. Buscamos las fracciones equivalentes.
La fracción equivalente de 8/7 es 24/21 porque:
7 x 3 = 21
8 x 3 = 24
Y la fracción equivalente de 1/3 es 7/21 porque:
3 x 7 = 21
1 x 7 = 7
Ahora juntamos:
8/7 - 1/3 = 24/21 - 7/21 = 17/21
c- 1/4 + 3/2 - 2/5 =
Al ser diferentes los denominadores, debemos hallar el común entre los tres, entonces:
4: 4, 8 , 12, 16, 20, 24….
2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24…
5: 5, 10, 15, 20, 25…
El primer número que se repite es el 20, por lo tanto buscamos las fracciones equivalentes con ese denominador.
La fracción equivalente de 1/4 es 5/20 porque:
4 x 5 = 20
1 x 5 = 5
La fracción equivalente de 3/2 es 30/20 porque:
2 x 10 = 20
3 x 10 = 30
Y la fracción equivalente de 2/5 es 8/20 porque:
5 x 4 = 20
2 x 4 = 8
Ahora juntamos y resolvemos:
1/4 + 3/2 - 2/5 = 5/20 + 30/20 - 8/20 = 27/20
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