El número e o número de Euler es uno de los números trascendentales; es una constante irracional que se utiliza en múltiples cálculos para explicar, sobre todo, crecimientos exponenciales, ya sea de dinero, poblaciones o bacterias. En una nueva lección de unProfesor estudiaremos para qué sirve el número e o número de Euler en matemáticas. Comenzando con su explicación y su origen, para continuar con su cálculo, y terminando con sus aplicaciones en la vida cotidiana.
¿Qué es el número e en matemáticas?
El número e en matemáticas, o también conocido como número de Euler, es un número que pertenece al conjunto de los números irracionales y es catalogado como uno de los números trascendentales. Recordemos que los números irracionales son aquellos que tienen infinitas cifras decimales diferentes, por lo que no se conoce exactamente el número, sino que puede aproximarse. Si te preguntas cuánto vale, se puede aproximar como 2,71 y es la base de los logaritmos naturales y se utiliza mayormente en cálculos de límites y casos de crecimiento y decrecimiento.
Entonces, el número e es un número irracional que se utiliza como la base de los logaritmos naturales y la característica principal es que tiene decimales infinitos no periódicos. Una de las propiedades más importantes que tiene el número de Euler es que se usa en diversos cálculos que permiten estudiar los crecimientos y decrecimientos o aquellos procesos que cambian continuamente.
¿Cuál es el origen del número e o número de Euler?
En el siglo XVII, los matemáticos estaban obsesionados con la idea de entender las funciones de crecimiento y decrecimiento continuo. Por esto, se concentraron en las funciones exponenciales y logarítmicas, lo que llevó a identificar una constante fundamental.
El matemático John Napier fue el primero en introducir la teoría y el concepto de logaritmo, sabiendo al día de hoy que es la base del número e. Leonhard Euler fue el matemático que descubrió que existe una secuencia que siempre converge, es decir, que siempre se acerca al mismo límite. Esto lo lleva a encontrar el número e como ese límite, asegurando que el número e es una constante matemática infinita que se relaciona con el logaritmo y que posee múltiples propiedades.
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¿Cómo se calcula e?
Existen diferentes formas de calcular o intentar calcular el número e, ya que recordemos que es un número irracional e infinito. Por lo tanto, podemos aproximarnos al valor del mismo. Hoy en día se conocen más de un billón de cifras de e. La forma más sencilla o más conocida de calcularlo es con una serie de Taylor que es la siguiente:
e = (1 + 1/n)n
Se va reemplazando el valor de n para aproximar aún más el valor de e. A medida que el número n va aumentando, más nos vamos aproximando a ese límite.
Cuando reemplazamos n=1, tenemos:
- e = (1 + 1/n)n = (1 + 1/1)1
- El resultado de e = 2.
Cuando reemplazamos n=10, tenemos:
- e = (1 + 1/n)n = (1 + 1/10)10
- El resultado de e = 2,59374246…
Cuando reemplazamos n = 100, tenemos:
- e = (1 + 1/n)n = (1 + 1/100)100
- El resultado de e = 2,70481382…..
Cuando reemplazamos n con un número muy grande, entonces e = 2,718281828….
También puede calcularse con una serie que utiliza los factoriales de los números, y esta es exactamente la manera en que Euler calculó los primeros valores de e, y se calcula de la siguiente manera:
- e= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! + ……..
- e = 1/1 + 1/1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 + ….
- e = 1 + 1 + 1/2 + 1/6 + 1/24 + 1/120 + …..
- e = 2,7166…….
A medida que vamos agregando números a la cuenta, el número e se va aproximando más a su valor.
Aplicaciones del número de Euler en la vida cotidiana
Logaritmo natural: el número e es la base de los logaritmos naturales. Tiene muchísimas aplicaciones en múltiples cálculos matemáticos como diferenciales y derivadas, entre otros, en el campo de la ingeniería y la ciencia.
- Biología: el número e se utiliza mucho en biología, ya que sirve para explicar el crecimiento o decrecimiento exponencial de bacterias, células y virus. Se utiliza la cantidad que se tiene y luego se estudia la tasa de aumento que tienen las mismas. Un ejemplo muy conocido es cuando veíamos un noticiero, en donde nos mostraban una gráfica del crecimiento exponencial que tenía el coronavirus en el mundo en el año 2020 cuando sufrimos de la pandemia de ese virus. Veíamos de qué forma iba aumentando el contagio, y esto se hacía con el cálculo del crecimiento utilizando el número e para ello.
- Interés compuesto: el número e se utiliza en finanzas para calcular el rendimiento de las inversiones cuando el interés se capitaliza de manera continua.
- Física: en el campo de la física, este número e se utiliza para entender aquellos procesos que incluyen la desintegración radiactiva y la ley de enfriamiento de Newton, es decir, de qué forma se enfrían los objetos.
- Informática y tecnología: hoy en día, el número e se utiliza para optimizar muchos algoritmos que se usan en estructuras de datos y computación.
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