Propiedades de números racionales

El conjunto de los números racionales es aquel que incluye a aquellos números que pueden representarse como fracciones, es decir como el cociente entre dos números enteros.

Este conjunto incluye a los números naturales y los números enteros. Así mismo, también incluye a los números decimales, ya que no todas las divisiones de números enteros dan como resultado otro número entero. Una fracción se expresa como a/b donde a es el numerador y b el denominador, sabiendo que b nunca puede ser cero.

Los números racionales pueden representarse como fracciones propias, impropias y aparentes:

• Las fracciones propias son aquellas en las que el numerador es un número más pequeño que el denominador, y por lo tanto representa un número menor que un entero.
• Las fracciones impropias en cambio, son aquellas en las que el numerador es mayor que el denominador, por lo que representan un número mayor al entero.
• Y las fracciones aparentes son aquellas que representan números enteros, es decir que los numeradores y denominadores son múltiplos entre sí.

Los números racionales tienen una cierta cantidad de propiedades que aplican a ellos. Aquí te dejamos las principales propiedades de los números racionales.

Propiedad de cierre

Cuando sumamos, restamos o multiplicamos números racionales, el resultado de las tres operaciones arroja nuevamente un número racional. Es decir, que la suma, resta y multiplicación de dos números racionales, da como resultado otro número racional. En el caso particular de la división, debemos aclarar que NO está definida para cero, ya que el denominador nunca puede ser cero.

Ejemplos:

• Si sumamos 4/7 + 1/3 = 12/21 + 7/21 = 19/21
• Si restamos 5/4 - 1/2 = 5/4 - 2/4 = 3/4
• Si multiplicamos 3/5 x 1/7 = 3/35

Propiedad conmutativa de la suma y la multiplicación

Esta es otra de las propiedades de números racionales. Cuando sumamos o multiplicamos dos números racionales el orden de los factores no afecta el resultado. Esto quiere decir, que no importa si una fracción está ubicada por delante de la otra o viceversa, el resultado que se obtiene será igual.

Ejemplos:

• 1/9 + 7/3 = 1/9 + 21/9 = 22/9 es igual que 7/3 + 1/9 = 21/9 + 1/9 = 22/9
• 4/5 x 2/3 = 8/15 es igual que 2/3 x 4/5 = 8/15

Tanto la resta como la división no son propiedades conmutativas debido a que no se obtiene el mismo resultado si se altera la posición de los factores en la operación. No es lo mismo hacer 1/4 - 7/9 que 7/9 - 1/4, no solo los resultados no son iguales, sino que además a simple vista podemos ver que uno será negativo y el otro positivo.

Propiedad asociativa de la suma y la multiplicación

Cuando sumamos o multiplicamos tres o más números racionales podemos aplicar la propiedad, asociando de forma diferente los factores dado que el resultado que se obtendrá será el mismo en cualquier caso.

Ejemplos:

• Si sumamos 1/2 + (2/3 + 1/5) = 1/2 + (10/15 + 3/15) = 1/2 + 13/15 = 15/30 + 26/30 = 41/30
• Obtenemos el mismo resultado si asociamos de manera diferente
• (1/2 + 2/3) + 1/5 = (3/6 + 4/6) + 1/5 = 7/6 + 1/5 = 35/30 + 6/30 = 41/30
• (1/2 + 1/5 ) + 2/3 = (5/10 + 2/10) + 2/3 = 7/10 + 2/3 = 21/30 + 20/30 = 41/30

Lo mismo pasa cuando realizamos asociaciones en la multiplicación de tres o más números racionales, el resultado no se ve afectado, sigue siendo el mismo.

Propiedad distributiva con respecto a la multiplicación

Cuando multiplicamos un número racional con la suma de dos números racionales, podemos aplicar la propiedad distributiva, es decir multiplicamos por ambos números racionales, y sumamos sus resultados. También aplica en la resta de dos números racionales.

Ejemplo:

• 2/5 x (1/2 + 3/4) = 2/5 x 1/2 + 1/5 x 3/4 = 2/10 + 3/20 = 4/20 + 3/20 = 7/20
• En el caso de que la cuenta sea una resta, aplicamos igualmente la propiedad y resolvemos
• 2/5 x (1/2 - 3/4) = 2/5 x 1/2 - 1/5 x 3/4 = 2/10 - 3/20 = 4/20 - 3/20 = 1/20

Propiedad de identidad

Cuando multiplicamos o sumamos números racionales, existe un número en cada caso que al multiplicarlo o sumarlo por cualquier fracción arroja como resultado la misma fracción, es decir que el número final es el mismo que utilizamos antes de la operación.

Para la suma de un número racional el cero es aquel que arroja como resultado el mismo número, por ejemplo:

17/4 + 0 = 17/4

Para la multiplicación de un número racional el uno es aquel que arroja como resultado el mismo número, por ejemplo:

15/9 x 1 = 15/9

Propiedad del inverso

Esta es otra de las propiedades de números racionales. Tanto para la suma como para la multiplicación existe el inverso de cualquier número racional que da como resultado cero en la suma y uno en la multiplicación.

Para la suma, el inverso de un número racional a/b es -a/b, por el contrario decimos que un número racional -a/b tiene su inverso en a/b. Esto quiere decir, que el inverso de un número racional con respecto a la suma será el mismo número racional pero con su signo inverso.

Por ejemplo: 4/5 + (-4/5) = 0

O también -7/2 + 7/2 = 0

Para la multiplicación, el inverso de un número racional a/b es b/a. Siempre que el denominador de un número racional sea igual al numerador del otro número racional y se multipliquen, el resultado será uno. Por ejemplo:

4/3 x 3/4 = 1

-7/9 x -9/7 = 1

Aquí tienes las principales características de los números racionales:

1. Naturaleza fraccionaria: Un número racional puede ser expresado como una fracción $frac{a}{b}$, donde el numerador ($a$) es un número entero y el denominador ($b$) es un número entero diferente de cero.
2. Expansión decimal: Su expresión decimal es siempre finita (termina) o periódica (se repite indefinidamente). No tienen expansión decimal infinita no repetitiva.
3. Densidad: Entre dos números racionales cualesquiera, por muy próximos que estén, siempre existe un número infinito de otros números racionales.
4. Estructura de campo: Cumplen con todas las propiedades fundamentales de las operaciones (suma y multiplicación): Cierre, Conmutativa, Asociativa, Identidad e Inverso.
5. Inclusión en los reales: Son un subconjunto de los números reales ($mathbb{R}$), y junto con los números irracionales (los que no se pueden expresar como fracción) completan el conjunto de los números reales.

Descubre aquí los diferentes tipos de números racionales.

Si deseas leer más artículos parecidos a Propiedades de números racionales, te recomendamos que entres en nuestra categoría de Aritmética.