Qué es la serie de Taylor y su fórmula

La Serie de Taylor es un polinomio que suma infinitos términos elevados a potencias, donde esta suma se extiende al infinito. Cada uno de los términos que forman la serie de Taylor tendrá un término sucesivo que tiene una potencia mayor que que el grado anterior. Es decir que las potencias van a ser cada vez mayores.

Estas potencias se prolongan de forma infinita a través de las sumas de los diferentes términos que tiene la serie de Taylor.

La fórmula de la Serie de Taylor es:

Cada uno de los elementos que componen la serie de Taylor corresponden a una derivada de la función que estamos utilizando, en este caso es f. A su vez se evalúa en un punto, en este caso a y se realiza hasta la potencia n.

Cuando desarrollamos la serie de Taylor debemos tener en cuenta que puede realizarse para aquellas funciones de valores reales donde las derivadas sucesivas existan. En este caso, la función f(x), debe ser ser real, y se deben poder encontrar las derivadas en el punto elegido a, es decir, f´(a), f´´(a), f´´´(a), y sucesivamente.

El punto a que utilizamos en la serie de Taylor es un punto que forma parte de la recta tangente de la función que utilizamos f. Al mismo tiempo, podemos expresar la recta como una función que tendrá la misma pendiente que la función f en ese punto a.

Aquí te describimos el concepto de potencia y sus elementos.

Existe una diferencia entre la serie de Taylor y el polinomio de Taylor y se debe principalmente a que la serie es una suma infinita de términos, mientras que el polinomio de Taylor es una secuencia que sí es finita. Es decir, que la serie tiene términos infinitos, mientras que el polinomio, no.

Entonces, el polinomio de Taylor puede definirse como la aproximación en forma polinómica, de la función f, que sabemos tiene n derivadas en un punto elegido a.

El polinomio de Taylor se escribe:

Los usos y aplicaciones para la serie de Taylor son muy variados, en general se utilizan para ingeniería, física, matemática, hidráulica, entre otras. Algunas de las aplicaciones pueden ser:

• Evaluar una función f en cada uno de los puntos si los valores y las derivadas se identifican en el punto.
• Se utiliza para realizar múltiples demostraciones matemáticas.
• Se pueden realizar series parciales, para luego completar la serie total.
• Este tipo de series se utiliza mucho para técnicas de optimización.
• Límites, su análisis.
• Puntos estacionarios y puntos sillas, su análisis.
• Para resolver límites, con el Teorema de L´Hopital.
• Estimación de integrales, convergencias y divergencias.
• Productos y activos financieros, su análisis.

En esta otra lección de unProfesor te contamos qué es la fórmula de Euler y para qué se utiliza.

Veamos un ejemplo muy sencillo y concreto de cómo utilizar la serie de Taylor. En este caso usaremos una de las funciones más versátiles y fácil de derivar que es la función exponencial en x.

Evaluar la serie de Taylor para x=0 en la función f(x)=e^x

Para resolverlo, primero planteamos las primeras derivadas:

• f´(x) = e^x
• f´´(x) = e^x
• f´´´(x) = e^x

Sabiendo que la derivada de e^x = e^x entonces sabemos que todas las derivadas sucesivas serán iguales.

Ahora evaluamos la derivada en el punto x=0. Como las derivadas son iguales, obtenemos el mismo resultado también para todas, donde:

f´(0) = e⁰ = 1

Por lo tanto, la serie de Taylor de la función f(x) = e^x en x=0 es:

En este segundo ejemplo, veremos una de las funciones trigonométricas. Así como la anterior, es una función sencilla para comprender este tipo de series, ya que las derivadas son muy sencillas de encontrar.

Evaluar la serie de Taylor para la función f(x) = cos x en el punto x=0.

Comenzamos nuevamente con las primeras derivadas de la función cos x.

• f´(x) = - sen x
• f´´(x) = - cos x
• f´´´(x) = sen x
• f(4) (x) = cos x
• f(5) (x) = - sen x
• f(6) (x) = - cos x

Una vez que encontramos las derivadas, evaluamos las mismas en el punto x=0

• f(0) = cos 0 = 1
• f´(0) = - sen 0 = 0
• f´´(0) = - cos 0 = -1
• f´´´(0) = sen 0 = 0
• f(4) (0) = cos 0 = 1
• f(5) (0) = - sen 0 = 0
• f(6) (0) = - cos 0 = -1

Ahora bien, planteamos la serie de Taylor, y nos queda:

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