Qué es un sistema de ecuaciones por igualación

Un sistema de ecuaciones por igualación es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas en el que las soluciones de las dos incógnitas es la misma para ambas ecuaciones. Esto quiere decir que, si tenemos dos ecuaciones con variables x e y, para las ecuaciones el resultado de las variables es el mismo.

Estas ecuaciones, son también funciones lineales, por lo que se pueden representar en un eje cartesiano, y según la solución de las mismas, tendremos dos rectas que se cortan en un punto, dos rectas que son coincidentes o dos rectas que no se cortan nunca.

El método de igualación es una de las formas que se utiliza para resolver este tipo de sistemas, donde se despeja una de las dos incógnitas en las dos ecuaciones, y luego se igualan para resolver y hallar el resultado de la variable de la cual depende. Este método es muy sencillo, ya que una vez que se despeja una variable, al igualarlas, la ecuación de dos incógnitas, se convierte en una ecuación simple con una sola variable.

Ejemplo

Un ejemplos de un sistema de ecuaciones lineal con dos variables es el siguiente:

• 3x + 2y = 1
• x - 5y = 6

Las variables en cuestión son x e y, y debemos hallar una solución para cada una donde se verifiquen ambas ecuaciones. El resultado será un punto (x,y) en el eje cartesiano.

Uno de los métodos para resolver un sistema de ecuaciones es el método de igualación. Como mencionamos anteriormente es una forma de resolver un sistema de ecuaciones donde se iguala una de las dos variables para hallar el resultado de la otra incógnita.

Los pasos para resolver el sistema de ecuaciones por igualación son:

• Primer paso: despejar una de las dos incógnitas en las dos ecuaciones lineales. En este paso debemos tener en cuenta que siempre es mejor, cuando sea posible, despejar la incógnita que sea unitaria y positiva, pero cualquiera de las dos puede realizarse sin inconvenientes.
• Segundo paso: luego del paso uno, se debe “igualar” la incógnita que despejamos de las dos ecuaciones. En este paso, obtenemos una ecuación simple de una sola incógnita.
• Tercer paso: resolver la ecuación para obtener el resultado de una de las variables, de la cual depende la ecuación.
• Cuarto paso: una vez hallado el valor de la incógnita que utilizamos en la ecuación, vamos a reemplazar el resultado obtenido en una de las ecuaciones que despejamos para encontrar el resultado de la otra variable. En este paso, podemos comprobar que el resultado es correcto, si reemplazamos en ambas ecuaciones despejadas y hallamos el mismo resultado.
• Quinto paso: comprobamos que la solución sea la correcta reemplazando los valores de las incógnitas en las ecuaciones del sistema.

Aquí te dejamos un ejemplo de sistema de ecuaciones por igualación. Utilizamos el sistema de ecuaciones del principio para resolverlo siguiendo los pasos del método para encontrar y comprobar la solución del mismo. Entonces, nuestro sistema es:

• 3x + 2y = 1
• x - 5y = 6

Despejamos x de ambas ecuaciones:

• x = (1 - 2y) / 3
• x = 6 + 5y

Igualamos las “x” para obtenemos una ecuación simple que depende de una sola variable:

(1 - 2y) / 3 = 6 + 5y

Resolvemos la ecuación para hallar el valor de “y”:

• 1 - 2y = (6 + 5y) . 3
• 1 - 2y = 18 + 15y
• 1 - 18 = 15y + 2y
• -17 = 17y
• -17 / 17 = y
• -1 = y

Hallamos el valor de “y” entonces ahora vamos a reemplazar ese número en las dos ecuaciones que despejamos en el paso uno:

• x = (1 - 2y) / 3 = (1 - 2 . (-1)) / 3 = 3 / 3 = 1
• x = 6 + 5y = 6 + 5 . (-1) = 6 - 5 = 1
• Por lo tanto x = 1

Para finalizar, vamos a reemplazar x = 1 y también y = -1 en el sistema para comprobar la solución.

• 3x + 2y = 1 → 3 . 1 + 2 . (-1) = 3 - 2 = 1
• x - 5y = 6 → 1 - 5 . (-1) = 1 + 5 = 6

Comprobamos los resultados, por lo tanto la solución del sistema es el punto (1, -1).

Aquí te contamos cómo resolver ecuaciones con dos incógnitas.

En este caso, vamos a utilizar un mismo sistema de ecuaciones para resolverlo de dos maneras diferentes, obteniendo el mismo resultado. Es decir, vamos a seguir los pasos con una incógnita, y luego con la otra para comprobar que sin importar cuál elija cada uno para resolverlo, el resultado que obtenemos es el mismo.

El sistema de ecuaciones es el siguiente:

• x + y = 3
• 2x - y = 0

Primera forma de resolver despejando x.

Despejamos “x” en este caso:

• x = 3 - y
• x = y / 2

Igualamos las “x”:

3 - y = y / 2

Resolvemos la ecuación:

• (3 - y) . 2 = y
• 6 - 2y = y
• 6 = y + 2y
• 6 = 3y
• 6 / 3 = y
• 2 = y

Hallamos el valor de “y” entonces ahora vamos a reemplazar ese número en las dos ecuaciones que despejamos en el paso uno:

• x = 3 - y = 3 - 2 = 1
• x = y / 2 = 2 / 2 = 1
• Por lo tanto x = 1

Ahora reemplazamos ambos valores en el sistema:

• x + y = 3 → 1 + 2 = 3
• 2x - y = 0 → 2 . 1 - 2 = 0

Habiendo comprobado el resultado, la solución del sistema es el punto (1, 2).

Primera forma de resolver despejando y.

Despejamos “y” en este caso:

• y = 3 - x
• y = 2x

Igualamos las “y”:

3 - x = 2x

Resolvemos la ecuación

• 3 = 2x + x
• 3 = 3x
• 3 / 3 = x
• 1 = x

Reemplazamos x = 1 en las ecuaciones que despejamos para encontrar el valor de y.

• y = 3 - x = 3 - 1 = 2
• y = 2x = 2 . 1 = 2
• Por lo tanto y = 2

Ahora reemplazamos en el sistema para comprobar las soluciones:

• x + y = 3 → 1 + 2 = 3
• 2x - y = 0 → 2 . 1 - 2 = 0
• Entonces la solución del sistema es el punto (1, 2).

Con este ejemplo, podemos comprobar que sin importar la incógnita que despejemos primero, obtendremos el mismo resultado al finalizar la resolución.

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