Qué es una ecuación exponencial

Una ecuación exponencial es una ecuación en la que aparecen potencias donde sus exponentes son expresiones en las que figura una incógnita. Son ecuaciones en las que aparecen los exponenciales.

La incógnita de la ecuación aparece únicamente como una potencia de una base que es constante. Esta puede aparecer como exponente de varios términos en cualquier miembro de nuestra ecuación. La base constante está elevada a una función con respecto a la incógnita, la cual hay que despejar para encontrar su valor numérico.

Ejemplos de ecuaciones exponenciales

• 3 ^x = 27
• 2 ^x+11 = 16
• 4 ^x+1 - 4 ^2x = 4 ^{x + 4}

Dependiendo de la forma y tipo de ecuación exponencial, existen diferentes métodos para resolverlas.

Tipos de ecuaciones exponenciales y métodos para resolverlas

Exponentes de igual base. Igualación de sus bases

Cuando el primer miembro de una ecuación exponencial sólo posee un miembro y el segundo término es una potencia de la base del primero, entonces:

• 2^x=16
• 2^x = 2⁴

Como tienen la misma base, podemos decir que x=4

Exponentes con diferentes bases. Cambio de variable

A menudo, en las ecuaciones exponenciales, es necesario realizar un cambio de variables cuando por ejemplo, a simple vista tenemos diferentes bases elevadas a una incógnita, pero la base se puede expresar como una potencia de la otra base. Por ejemplo:

3 . 4^x + 6 . 2^x = 24

Como 4 se puede expresar como una potencia de base 2, tenemos:

3. (2²)^x + 6 . 2^x = 24

Aplicamos la propiedad de potencia de otra potencia, y

3. 2^2x + 6 . 2^x = 24

3. (2^x)² + 6 . 2^x = 24

Realizamos el cambio de variable y=2^x

3. y² + 6 . y = 24

Ahora podemos resolver como una ecuación cuadrática

3. y² + 6 . y -24 = 0

Aplicamos resolvente y obtenemos:

• y=-4
• y=2

Como tenemos y=2^x planteamos las ecuaciones

-4=2^x no tiene solución ya que la potencia de un número positivo nunca puede dar como resultado un número negativo.

2=2^x el resultado es x=1

Utilizado propiedades para convertir la ecuación exponencial en una algebraica

3^x+1 +3^x = 36

Utilizamos las propiedades de la potenciación

• 3^x . 3¹ + 3^x = 4 . 9
• 3^x.(3 + 1) = 4. 3²
• 3^x . 4 = 4 . 3²
• Por lo tanto x=2

Para poder resolver una ecuación exponencial, es primordial que repasemos las propiedades de las potencias ya que las necesitaremos para resolverlas.

Propiedades de las potencias

La potencia de un número, es igual a la cantidad de veces que debe multiplicarse por sí mismo. Al número le llamamos base, mientras que a la cantidad de veces que debe multiplicarse le llamamos exponente y se escribe así: Aⁿ = Siendo A la base y n el exponente.

Aquí te dejamos un repaso de las propiedades de las potencias:

• Exponentes negativos: cuando es negativa la potencia de una base distinta de cero entonces el resultado es su inversa elevado a la potencia.
• Producto de potencias de igual base: el producto entre dos potencias que tienen la misma base, es igual a la base elevada a la suma de los exponentes.
• Cociente de potencias de igual base: el cociente entre dos potencias que tiene la misma base, es igual a la base elevada a la diferencia entre los exponentes.
• Potencia de otra potencia: La potencia de una base, elevada a su vez a otra potencia, es igual a la base elevada al producto entre los exponentes.
• Potencia del producto: la potencia de un producto es igual al producto de los números elevados cada uno al exponente.
• Potencia del cociente: la potencia de un cociente es igual al cociente de los números elevados cada uno al exponente.

Lo que distingue a una ecuación exponencial es que la incógnita aparece como potencia de una base constante, es decir cuando una base constante está elevada a una potencia que incluye una variables, entonces podemos decir que estamos ante una ecuación del tipo exponencial.

Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales.

• Ejercicio 1: 5^x = 125
• Ejercicio 2: 9 . 27^x = 27

Soluciones ejercicio 1

• 5^x = 125
• 5^x = 5³ por lo tanto x=3

Soluciones ejercicio 2

• 9 . 27^x = 27
• 3² . 3^3x = 3³
• 3^2+3x= 3³

Como tienen igual base podemos igualar sus exponentes

• 2+3x = 3
• 3x = 3-2
• x=1/3

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