En esta lección explicamos cómo hacer operaciones con polinomios pero sobre todo nos centraremos en la multiplicación de polinomios.
En matemáticas, un polinomio es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos.
En esta lección que te traemos desde unProfesor en el día de hoy, vas a poder ver cómo se suman, restan y multiplican los polinomios. Además, te vamos a proporcionar unos ejercicios con sus respectivas soluciones para que puedas asegurarte de que has entendido lo explicado en el artículo.
Qué es un polinomio
Un polinomio es una expresión algebraica, es decir, una expresión formada por letras y/o números relacionados entre sí mediante sumas y restas, multiplicaciones o divisiones y potencias. También se puede definir como un conjunto de monomios. Algunos ejemplos pueden ser:
- x2 - y
- 5y + 3
- 75x3 – 5x2 + x
Como habréis podido observar, cada parte del polinomio es un monomio compuesto por un coeficiente y por una pare literal. Por ejemplo, si tenemos 5xy3, el coeficiente es 5 y la parte literal es xy3.
Suma y resta de polinomios
Para sumar o restar polinomios, necesitamos que la parte literal sea EXACTAMENTE igual. Así, podremos sumar 5xy3 con cualquier otro monomio que tenga como parte literal xy3. Por ejemplo:
- 35y2z + 5y2z = 40y2z 🡪 Lo podemos hacer porque ambos tienen y2z como parte literal.
- 7x5 + 9x4 🡪 No lo podemos calcular, porque las partes literales son diferentes, una es x5 y otra x4.
Si tuviéramos el polinomio P(x) = 5x3 + 2xy – 7x, y el polinomio Q(x) = 8xy + 3x2 + 2x y nos pidieran que sumáramos P(x) + Q(x), juntaríamos cada monomio con el que tuviera su misma parte literal, así:
5x3 + 2xy – 7x + 8xy + 3x2 + 2x = 5x3 + 3x2 + 10xy - 5x
Si nos pidieran que restáramos, haríamos lo mismo, pero con cuidado: si nos piden que hagamos P(x) – Q(x), hay que restar Q(x) entero, así:
5x3 + 2xy – 7x - (8xy + 3x2 + 2x) = 5x3 + 2xy – 7x – 8xy – 3x2 – 2x = 5x3 - 3x2 - 6xy - 9x
Básicamente, lo que tienes que recordar es que si tienes un menos delante de un paréntesis, se cambia de signo todo lo que está en el interior de ese paréntesis.
Multiplicación de polinomios
Para multiplicar polinomios, sin embargo, no es necesario que las partes literales sean iguales. Lo que haremos será multiplicar los coeficientes entre sí y las partes literales entre sí, teniendo en cuenta que, en las partes literales, cuando multiplicamos, lo que hacemos es sumar los exponentes si la base es la misma.
Es decir, si tenemos 2x2 · 5x, lo que haremos será multiplicar los coeficientes, o sea, 2 por 5 que es 10, y las partes literales, o sea x2 · x, que es x3, ya que lo que hacemos es sumar los exponentes, el primero está elevado a 2 y el segundo a 1, entonces 2 + 1 es 3, por eso queda 10x3.
Por ejemplo, si tenemos 5x2 + 3y - 7x por 3x3 + 2x, lo haremos así:
(5x2 + 3y - 7x) · (3x3 + 2x) = 5x2 · 3x3 + 5x2 · 2x + 3y · 3x3 + 3y · 2x – 7x · 3x3 -7x · 2x = 15x5 + 10x3 + 9x3y + 6xy – 21x4 - 14x2
Como veis, hemos ido multiplicando cada monomio por el del otro paréntesis paso a paso.
Ejercicio de operaciones con polinomios
Para poner a prueba lo que has aprendido hoy, te proponemos que hagas los siguientes ejercicios:
1) Teniendo P(x) = 5xyz + 3x3; Q(x) = 2x5 + 7xyz – 2
- Calcula P(x) + Q(x)
- Calcula P(x) – Q(x)
- Calcula P(x) · Q(x)
Soluciones
Vamos a comprobar si has realizado correctamente las actividades propuestas:
- 5xyz + 3x3 + 2x5 + 7xyz – 2 = 12xyz + 3x3 + 2x5 – 2
- 5xyz + 3x3 – (2x5 + 7xyz – 2) = 5xyz + 3x3 - 2x5 - 7xyz + 2 = - 2xyz + 3x3 -2x5 + 2
- (5xyz + 3x3) · (2x5 + 7xyz – 2) = 10x6yz + 35x2y2z2 - 10xyz + 6x8 + 21x4yz - 6x3
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