Tipos de ecuaciones lineales

Antes de hablar de los tipos de ecuaciones lineales, vamos a recordar que una ecuación es la igualdad en la que encontramos letras con valor desconocido (a las que denominamos incógnitas). Por ello, resolver una ecuación es encontrar el valor o valores que hacen que esas incógnitas transformen la ecuación en una identidad, es decir, que la parte que queda a la izquierda del igual dé el mismo número que la de la derecha.

Es ahora cuando entra en juego el concepto de "lineal". Que una ecuación sea lineal significa que tiene una o varias incógnitas sumándose entre sí, aunque cada incógnita puede llevar un coeficiente. Si tenemos una sola incógnita, el resultado es concretamente un número, pero si tenemos dos incógnitas, el resultado es una recta. Este tipo de ecuaciones también se conocen como ecuaciones de primer grado.

Las ecuaciones lineales son fundamentales en muchos campos como la física, la ingeniería y la economía, ya que permiten modelar relaciones proporcionales entre variables, facilitando el análisis y la predicción de fenómenos complejos.

Existen tres tipos de ecuaciones lineales que determinan formas de representar las ecuaciones lineales:

1. Pendiente - ordenada en el origen: es la forma y = mx + b, en la que m es la pendiente de la recta y b es el punto por donde esa recta corta el eje vertical.
2. Punto - pendiente: es la forma y - y = m (x - x), en la que m vuelve a ser la pendiente y las letras x e y que están en cursiva son un punto por el que pasa la recta.
3. Estándar: es la forma Ax + By = C, en la que A, B y C son constantes.

Para calcular la pendiente m basta con tener dos puntos (x, y) de la recta y hacer lo siguiente:

1. Restar la x de un punto menos la x del otro punto.
2. Restar la y de un punto menos la y del otro punto.
3. Dividir el resultado del paso 2 entre el resultado del paso 1.

El conocimiento de estos tipos de ecuaciones es esencial para resolver problemas de geometría analítica y álgebra lineal. Además, la habilidad para convertir entre estas formas es crucial para el análisis de datos en ciencias aplicadas.

Las ecuaciones lineales se pueden utilizar para situaciones como las siguientes:

• Cuando el aumento en una variable causa directamente el aumento de la otra. Por ejemplo, el peso de la bolsa de naranjas y su precio se puede relacionar por una ecuación lineal, ya que si sube una, la otra también y viceversa. Siendo Y el gasto y X los kg, podemos encontrar que: y = 2x
• Cuando la disminución en una variable causa directamente la disminución de la otra. Por ejemplo, si reducimos el número de bebés que tiene una familia, se reduce el gasto en pañales. Siendo Y el gasto y X el número de hijos, podemos encontrar que: y = 6x
• Cuando el aumento en una variable causa una disminución en la otra variable. Por ejemplo, si aumentamos el número de obreros, disminuirá el tiempo de realización de una obra. Siendo Y el tiempo de realización de obra y X el número de obreros, podemos encontrar que: y = 40x
• Cuando la disminución en una variable causa un aumento en la otra variable. Por ejemplo, si disminuimos la velocidad a la que circulamos con el coche, aumentamos el tiempo que tardamos en llegar al destino. Siendo Y la distancia recorrida y X la velocidad a la que vamos, podemos encontrar que: y = 5x

Vamos a ver también un ejemplo de cálculo de pendiente. Si sabemos que una recta pasa por los puntos (3, -2) y (5, 1), seguimos los pasos:

1. Restamos las x: 5 - 3 = 2.
2. Restamos las y: -2 - 1 = -3
3. Dividimos 2 / -3 = -0,6666... Esta es nuestra pendiente.

Además, en contextos más complejos, las ecuaciones lineales se pueden utilizar para modelar el comportamiento eléctrico en circuitos simples o para predecir tendencias económicas a partir de datos históricos, lo que las convierte en herramientas versátiles y poderosas en múltiples disciplinas.

Comprueba que has entendido lo explicado en esta lección resolviendo los siguientes ejercicios:

• 1. Elabora la ecuación pendiente - ordenada si sabemos que la pendiente es 3 y la recta corta el eje vertical en el número -5.
• 2. Elabora la ecuación punto - pendiente si sabemos que la pendiente es 7 y un punto de la recta es (5, 3)
• 3. Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos (8, 5) y (2, -1).
• 4. Determina la forma estándar de la ecuación de la recta que tiene una pendiente de 4 y pasa por el punto (1, 2).

Las soluciones son:

1. Elabora la ecuación pendiente - ordenada si sabemos que la pendiente es 3 y la recta corta el eje vertical en el número -5:

y = 3x -5

2. Elabora la ecuación punto - pendiente si sabemos que la pendiente es 7 y un punto de la recta es (5, 3):

y - 3 = 7(x - 5)

3. Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos (8, 5) y (2, -1):

m = (5 - (-1)) / (8 - 2) = 6/6 = 1

4. Determina la forma estándar de la ecuación de la recta que tiene una pendiente de 4 y pasa por el punto (1, 2):

y - 2 = 4(x - 1) => y = 4x - 4 + 2 => y = 4x - 2 => 4x - y = 2

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