Qué es una ecuación de segundo grado

Una ecuación de segundo grado es una fórmula que se utiliza en matemáticas donde la misma está igualada a cero y que depende únicamente de una variable o incógnita. También se denomina como ecuación cuadrática ya que uno de sus términos tiene una incógnita que se encuentra elevada a una potencia de dos, es decir, está elevada al cuadrado.

Este tipo de ecuaciones tiene tres términos:

1. Uno es una variable elevada al cuadrado y posee el nombre de término cuadrático.
2. El segundo término corresponde a una incógnita elevada a una potencia de uno y se lo conoce como término lineal.
3. El tercero se denomina término independiente porque no posee variable alguna.

Los términos están compuestos por variables elevadas a una potencia de dos o uno, y números que se denominan coeficientes, que pueden ser los que acompañan a las incógnitas o es el término independiente.

Las ecuaciones de segundo grado o cuadráticas son operaciones algebraicas que se componen de los tres elementos o términos que nombramos anteriormente, sumados e igualados a cero. Para resolver este tipo de ecuaciones aplicamos “la resolvente” que es una fórmula donde se obtienen dos valores que corresponden a las raíces de la misma. Las raíces son los valores posibles que puede tener como resultado la variable que se utiliza. Los mismos pueden ser reales o imaginarios, iguales o diferentes.

Las ecuaciones cuadráticas completas están representadas por polinomios cuadráticos, es decir de grado dos, y que poseen la forma:

a.x^2 + b. x^1 + c = 0

donde:

• a: es el coeficiente del término cuadrático
• b: es el coeficiente del término lineal
• c: es el término independiente

Los coeficientes que acompañan a las variables siempre son números reales y a debe ser distinto de cero para que la ecuación sea cuadrática, de lo contrario se elimina ese término y corresponde entonces a una ecuación lineal.

Las ecuaciones cuadráticas pueden ser completas como vimos anteriormente, pero también pueden tener sus otros términos iguales a cero. Es decir, las ecuaciones cuadráticas incompletas pueden ser:

cuando b=0, o sea que su término lineal no está en la ecuación, y tiene la forma

a.x^2 + c = 0

cuando c=0, o sea su término independiente no está en la ecuación, y tiene la forma a.x^2 + b. x^1 = 0

Veamos algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas:

• 5.x^2 - 4. x^1 + 3 = 0
• -2.x^2 +8 = 0
• 1.x^2 - 2. x^1 + 1 = 0
• -3.x^2 + 4. x^1 = 0

Como mencionamos anteriormente, para poder resolver ecuaciones cuadráticas o de segundo grado se utiliza una fórmula que llamamos “resolvente”, que nos otorga dos valores posibles que pueden tener las variables, y tiene la forma:

• x1 = (-b + raiz(b^2 - 4.a.c))/ 2.a
• x2 = (-b - raiz(b^2 - 4.a.c))/ 2.a

Existen dos fórmulas debido a que queremos obtener dos resultados o dos valores para las incógnitas, ya que x tomará dos resultados, y entonces de esta forma, podemos pensar en que realizamos dos fórmulas para encontrarlas.

La operación que se encuentra dentro de la raíz, es decir el radicando completo lleva el nombre de “discriminante”, y dependiendo del valor positivo, negativo o cero que tome el mismo, podremos obtener resultados diferentes.

Discriminante = b^2 - 4.a.c

Con esto queremos decir que, si el discriminante es:

• positivo, entonces el resultado serán dos variables reales diferentes
• nulo, es decir igual a cero, entonces el resultado tendrá una única solución
• negativo, entonces no existen resultados reales, y las variables tomarán valores imaginarios

Resolvemos una ecuación de segundo grado.

x^2 + 2. x^1 - 3 = 0

Primero identificamos cuales son los coeficientes y luego aplicamos la fórmula de la resolvente.

• a= 1
• b= 2
• c= -3

x1 = (-2 + raiz(2^2 - 4.1.-3))/ 2.1

x2 = (-2 - raiz(2^2 - 4.1.-3))/ 2.1

Podemos analizar el discriminante para determinar si tendrá una, dos o ninguna solución real.

Discriminante = 2^2 - 4.1.-3 = 4 + 12 = 16

Como el discriminante es positivo, obtendremos dos resultados reales diferentes.

x1 = (-2 + raiz(2^2 - 4.1.-3))/ 2.1 =(-2 + raiz(16))/ 2 = (-2 + 4 ) / 2 = 2 / 2 = 1

x2 = (-2 - raiz(2^2 - 4.1.-3))/ 2.1 = (-2 - raiz(16)) / 2 = (-2 - 4 ) / 2 = -6 / 2 = -3

Los valores que puede tomar la incógnita entonces, son 1 y -3.

x^2 + 4. x^1 = 0

Primero identificamos cuales son los coeficientes y luego aplicamos la fórmula de la resolvente.

• a= 1
• b= 4
• c= 0

x1 = (-4 + raiz(4^2 - 4.1.0))/ 2.1

x2 = (-4 - raiz(4^2 - 4.1.0))/ 2.1

Podemos analizar el discriminante para determinar si tendrá una, dos o ninguna solución real.

Discriminante = 4^2 - 4.1.0 = 16 - 0 = 16

Como el discriminante es positivo, obtendremos dos resultados reales diferentes.

x1 = (-4 + raiz(4^2 - 4.1.0))/ 2.1 = (-4 + raiz(16)) / 2 = (-4 + 4 ) / 2 = 0 / 2 = 0

x2 = (-4 - raiz(4^2 - 4.1.0))/ 2.1 = (-4 - raiz(16)) / 2 = (-4 - 4) / 2 = -8 / 2 = -4

Los valores que puede tomar la incógnita entonces, son 0 y -4.

x^2 + 1 = 0

Primero identificamos cuales son los coeficientes y luego aplicamos la fórmula de la resolvente.

• a= 1
• b= 0
• c= 1

En este caso, no tenemos necesidad de utilizar la “resolvente” ya que podemos despejar directamente la incógnita.

• x^2 + 1 = 0
• x^2 = -1
• x1 = + raiz(-1) y x2 = - raiz (-1)
• x1 = + i y x2 = - i

Obtenemos como resultado dos raíces imaginarias que son + i y - i.

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