Ecuaciones de segundo grado

Qué es una ecuación de segundo grado

Qué es una ecuación de segundo grado

Las ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas son fórmulas matemáticas que se componen por tres términos que contienen variables y coeficientes que las acompañan. En una nueva lección de unProfesor veremos qué es una ecuación de segundo grado y sus partes. Comenzaremos por su definición y elementos, continuaremos con las ecuaciones cuadráticas completas y algunos ejemplos. Seguiremos con la fórmula de la ecuación de segundo grados, y para finalizar veremos algunos ejemplos resueltos.

Además, si queréis practicar lo aprendido en la clase de hoy podéis realizar los ejercicios imprimibles con sus soluciones que os hemos dejado en la web.

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Índice
  1. ¿Qué es una ecuación de segundo grado y sus partes?
  2. ¿Cuáles son las ecuaciones de segundo grado completas?
  3. Ecuación de segundo grado: ejemplos
  4. ¿Cuál es la fórmula de la ecuación de segundo grado?
  5. Operaciones segundo grado resueltas

¿Qué es una ecuación de segundo grado y sus partes?

Una ecuación de segundo grado es una fórmula que se utiliza en matemáticas donde la misma está igualada a cero y que depende únicamente de una variable o incógnita. También se denomina como ecuación cuadrática ya que uno de sus términos tiene una incógnita que se encuentra elevada a una potencia de dos, es decir, está elevada al cuadrado.

Este tipo de ecuaciones tiene tres términos:

  1. Uno es una variable elevada al cuadrado y posee el nombre de término cuadrático.
  2. El segundo término corresponde a una incógnita elevada a una potencia de uno y se lo conoce como término lineal.
  3. El tercero se denomina término independiente porque no posee variable alguna.

Los términos están compuestos por variables elevadas a una potencia de dos o uno, y números que se denominan coeficientes, que pueden ser los que acompañan a las incógnitas o es el término independiente.

Las ecuaciones de segundo grado o cuadráticas son operaciones algebraicas que se componen de los tres elementos o términos que nombramos anteriormente, sumados e igualados a cero. Para resolver este tipo de ecuaciones aplicamos “la resolvente” que es una fórmula donde se obtienen dos valores que corresponden a las raíces de la misma. Las raíces son los valores posibles que puede tener como resultado la variable que se utiliza. Los mismos pueden ser reales o imaginarios, iguales o diferentes.

¿Cuáles son las ecuaciones de segundo grado completas?

Las ecuaciones cuadráticas completas están representadas por polinomios cuadráticos, es decir de grado dos, y que poseen la forma:

a.x^2 + b. x^1 + c = 0

donde:

  • a: es el coeficiente del término cuadrático
  • b: es el coeficiente del término lineal
  • c: es el término independiente

Los coeficientes que acompañan a las variables siempre son números reales y a debe ser distinto de cero para que la ecuación sea cuadrática, de lo contrario se elimina ese término y corresponde entonces a una ecuación lineal.

Las ecuaciones cuadráticas pueden ser completas como vimos anteriormente, pero también pueden tener sus otros términos iguales a cero. Es decir, las ecuaciones cuadráticas incompletas pueden ser:

cuando b=0, o sea que su término lineal no está en la ecuación, y tiene la forma

a.x^2 + c = 0

cuando c=0, o sea su término independiente no está en la ecuación, y tiene la forma a.x^2 + b. x^1 = 0

Aquí te contamos qué es un sistema de ecuaciones y los diferentes tipos de sistemas de ecuaciones.

Qué es una ecuación de segundo grado - ¿Cuáles son las ecuaciones de segundo grado completas?

Ecuación de segundo grado: ejemplos

Veamos algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas:

  • 5.x^2 - 4. x^1 + 3 = 0
  • -2.x^2 +8 = 0
  • 1.x^2 - 2. x^1 + 1 = 0
  • -3.x^2 + 4. x^1 = 0

¿Cuál es la fórmula de la ecuación de segundo grado?

Como mencionamos anteriormente, para poder resolver ecuaciones cuadráticas o de segundo grado se utiliza una fórmula que llamamos “resolvente”, que nos otorga dos valores posibles que pueden tener las variables, y tiene la forma:

  • x1 = (-b + raiz(b^2 - 4.a.c))/ 2.a
  • x2 = (-b - raiz(b^2 - 4.a.c))/ 2.a

Existen dos fórmulas debido a que queremos obtener dos resultados o dos valores para las incógnitas, ya que x tomará dos resultados, y entonces de esta forma, podemos pensar en que realizamos dos fórmulas para encontrarlas.

La operación que se encuentra dentro de la raíz, es decir el radicando completo lleva el nombre de “discriminante”, y dependiendo del valor positivo, negativo o cero que tome el mismo, podremos obtener resultados diferentes.

Discriminante = b^2 - 4.a.c

Con esto queremos decir que, si el discriminante es:

  • positivo, entonces el resultado serán dos variables reales diferentes
  • nulo, es decir igual a cero, entonces el resultado tendrá una única solución
  • negativo, entonces no existen resultados reales, y las variables tomarán valores imaginarios

Operaciones segundo grado resueltas

Resolvemos una ecuación de segundo grado.

x^2 + 2. x^1 - 3 = 0

Primero identificamos cuales son los coeficientes y luego aplicamos la fórmula de la resolvente.

  • a= 1
  • b= 2
  • c= -3

x1 = (-2 + raiz(2^2 - 4.1.-3))/ 2.1

x2 = (-2 - raiz(2^2 - 4.1.-3))/ 2.1

Podemos analizar el discriminante para determinar si tendrá una, dos o ninguna solución real.

Discriminante = 2^2 - 4.1.-3 = 4 + 12 = 16

Como el discriminante es positivo, obtendremos dos resultados reales diferentes.

x1 = (-2 + raiz(2^2 - 4.1.-3))/ 2.1 =(-2 + raiz(16))/ 2 = (-2 + 4 ) / 2 = 2 / 2 = 1

x2 = (-2 - raiz(2^2 - 4.1.-3))/ 2.1 = (-2 - raiz(16)) / 2 = (-2 - 4 ) / 2 = -6 / 2 = -3

Los valores que puede tomar la incógnita entonces, son 1 y -3.

x^2 + 4. x^1 = 0

Primero identificamos cuales son los coeficientes y luego aplicamos la fórmula de la resolvente.

  • a= 1
  • b= 4
  • c= 0

x1 = (-4 + raiz(4^2 - 4.1.0))/ 2.1

x2 = (-4 - raiz(4^2 - 4.1.0))/ 2.1

Podemos analizar el discriminante para determinar si tendrá una, dos o ninguna solución real.

Discriminante = 4^2 - 4.1.0 = 16 - 0 = 16

Como el discriminante es positivo, obtendremos dos resultados reales diferentes.

x1 = (-4 + raiz(4^2 - 4.1.0))/ 2.1 = (-4 + raiz(16)) / 2 = (-4 + 4 ) / 2 = 0 / 2 = 0

x2 = (-4 - raiz(4^2 - 4.1.0))/ 2.1 = (-4 - raiz(16)) / 2 = (-4 - 4) / 2 = -8 / 2 = -4

Los valores que puede tomar la incógnita entonces, son 0 y -4.

x^2 + 1 = 0

Primero identificamos cuales son los coeficientes y luego aplicamos la fórmula de la resolvente.

  • a= 1
  • b= 0
  • c= 1

En este caso, no tenemos necesidad de utilizar la “resolvente” ya que podemos despejar directamente la incógnita.

  • x^2 + 1 = 0
  • x^2 = -1
  • x1 = + raiz(-1) y x2 = - raiz (-1)
  • x1 = + i y x2 = - i

Obtenemos como resultado dos raíces imaginarias que son + i y - i.

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9 comentarios
Su valoración:
Juan Pablo
Simplemente espléndido!
Martin
Muy buena tu explicación de las ecuaciones de 2do grado pero, lo que hacen muchos profesores, es explicar cómo se resuelven pero NO el indicar para que sirven. A mi criterio - constructivamente - debería enseñarse partiendo de un problema de la realidad para que el conocimiento no quede abstracto "suelto" en la cabeza de los educandos. Espero tu comentario. Sds,
Alejandro
Puedes explicar un poco mas lo de las ecuaciones de segundo grado completas e incompletas? Es que no lo logro entender demasiado
Sergio
Podrías hacer un vídeo con la regla de ruffini?
karen
tengo que dar un examen de matematicas de segundo usted me podra ayudar
Moisés García
¿Por qué en una ecuación de segundo grado el término del segundo miembro da 0?, ¿no hace a la ecuación irresoluble?
alexa
hola mira yo en 5 días presento un importante examen para ingresar ala prepa q temas crees q sean básicos para saber de matemáticas a y cual es el método mas fácil para resolver fracciones
Andrew
Gracias Profe!
Cynthia
Creo que te amo. Explicas precioso. Y encima guapo.
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