Propiedades de la resta de matrices

La resta de matrices es la resta de los componentes que pertenecen a dos o más matrices. Recordemos que una matriz es un elemento matemático que se utiliza para organizar componentes o datos en filas y en columnas. Al momento de restar matrices lo que se hace es restar elemento a elemento, teniendo en cuenta que las matrices deben tener el mismo tamaño.

Las matrices, al ser formatos matemáticos y estar organizados de forma tal que contienen filas y columnas, permiten aplicar distintas operaciones como suma, resta y multiplicación entre otras.

• Ejemplo de una matriz 2 x 2

A = a1 a2

a3 a4

Entonces, la resta de matrices es una operación matemática donde se realiza la diferencia entre los elementos de dos o más matrices que tienen el mismo tamaño, es decir misma cantidad de filas y misma cantidad de columnas. La dimensión de las matrices se escribe en filas x columnas, esto quiere decir que si una matriz tiene “m” filas y “n” columnas, la dimensión de esa matriz es m x n.

La resta entre las matrices A y B,

A = a1 a2 B = b1 b2

a3 a4 b3 b4

• Se realiza de esta manera:

A - B = a1 - b1 a2 - b2

a3 - b3 a4 - b4

Una matriz que tiene 2 filas y 3 columnas se dice que tiene dimensión 2 x 3. Otra matriz con 3 filas y 3 columnas se dice que tiene dimensión 3 x 3 y a su vez que es una matriz cuadrada.

Las propiedades que tiene la resta de matrices son las siguientes:

• La dimensión de las matrices involucradas en la resta deben tener la misma dimensión, es decir que deben estar formadas por la misma cantidad de filas y de columnas.
• La sustracción de matrices NO es conmutativa como sí lo es en la adición. Esto quiere decir que la diferencia entre la matriz A y la B no es igual que la diferencia entre la matriz B y la A. Osea que A - B es diferente que B - A.
• La sustracción de matrices NO es asociativa como sí lo es en la adición. Esto quiere decir que la diferencia entre la matriz A y B y luego con C no es igual a la diferencia entre A y la diferencia entre B y C. Osea (A - B) - C es diferente que A - (B - C).
• La resta entre dos matrices idénticas, es decir sobre una matriz y sí misma, es igual a una matriz nula. Las matrices nulas son aquellas cuyos elementos son todos cero. Osea que A - A = O.
• La resta de dos matrices se puede pensar como la suma de una matriz con el opuesto de otra matriz. Es decir, la suma entre una matriz A y la opuesta de una matriz B. Osea que A - B es igual que A + (-B).

La resta de matrices se resuelve, como mencionamos antes, elemento a elemento. Esto quiere decir que si tenemos dos matrices de dimensión 2 x 2, cada elemento correspondiente al mismo lugar ocupado debe restarse. El resultado de la resta de dos matrices 2 x 2, será otra matriz 2 x 2 con nuevos elementos. Veamos un ejemplo para comprender cómo realizar esta operación.

• Tenemos dos matrices 2 x 2 que son:

A = 26y B = 9 5

-13 7 1

• Entonces para restar A - B debemos restar los elementos que se corresponden con los lugares que tienen ambas.

A - B = 2 - 9 6 - 5

-1 - 7 3 - 1

• Ahora realizamos las cuentas que tenemos en cada lugar de la matriz:

A - B = -7 1

-8 2

• Encontrando así, el resultado de A - B en una nueva matriz 2 x 2.

Existen muchos ejemplos de restas de matrices, ya que al ser infinitos los números que pueden formarla, también son infinitas las posibilidades de tener diferentes matrices.

Algunos ejemplos sencillos podrían ser los siguientes.

Ejemplo 1

Realizar la diferencia entre las matrices A y B. Luego hacer la diferencia de manera contraria.

• Las matrices A y B son las siguientes:

A = 12-4B = -7 8

5 3 -2-5

-12 -8-4

Comprobamos primero, que las dos matrices tienen la misma dimensión en este caso 3 filas y 2 columnas, por lo tanto son 3 x 2.

Ahora realizamos la primera resta de matrices A - B.

A - B = 12 - (-7)-4 - 8

5 - (-2)3 - (-2)

-1 - (-8)2 - (-4)

Ahora obtenemos el resultado:

A - B = 19-12

7 5

7 6

Realizamos la siguiente resta B - A.

B - A = -7 - 128 - (-4)

-2 - 5-5 - 3

-8 - (-1)-4 - 2

Obtenemos el resultado:

B - A = -19 12

-7-8

-7-6

Ejemplo 2

Realizar la diferencia de las matrices A y B. Luego al resultado restar la matriz C.

Siendo A, B y C las siguientes:

A = 4 6B = -7 5 C = -4 -8

-2 5 -3 1 -7 9

Comprobamos que las tres matrices tienen la misma dimensión, es decir 2 x 2, misma cantidad de filas y misma cantidad de columnas. Luego realizamos la resta:

(A - B) - C =

Primero realizamos A - B = A = 4 - (-7) 6 - 5

-2 - (-3) 5 - 1

Entonces:

A - B = 11 1

-54

A ese resultado restamos C.

(A - B) - C = 11 - (-4) 1 - (-8)

-5 - (-7) 4 - 9

Obtenemos entonces:

(A - B) - C = 15 9

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