Tipos de ecuaciones de segundo grado

Las ecuaciones de segundo grado, también llamadas ecuaciones cuadráticas son aquellas en las que el mayor exponente que tiene la incógnita es dos. Es decir, el grado de la ecuación es dos. Estas ecuaciones polinómicas tienen una sola ecuación y el exponente de mayor valor es el número dos. Generalmente, las ecuaciones cuadráticas tienen la forma:

ax² + bx + c = 0

Donde x es la incógnita, a es el coeficiente cuadrático, b el coeficiente lineal y c el término independiente. Tanto b como c pueden ser cero, pero para que la ecuación sea de segundo grado, a nunca puede ser igual a cero. Los tres coeficientes pueden ser tanto negativos, como positivos, siempre recordando que a debe ser distinto de cero.

Ejemplos de ecuaciones de segundo grado

Algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas son:

• 4x² + 5x - 2 = 0
• -3x² + 7 = 0
• 7x² + 6x = 0
• -5x² - x + 9 = 0

En algunos casos, las ecuaciones cuadráticas no se ven a simple vista, es decir los términos no siempre se encuentran ordenados o claros. A veces debemos desarrollar los términos para encontrar la ecuación de segundo grado, para luego resolverla. Esto quiere decir, que en muchas ocasiones tenemos que eliminar paréntesis, o realizar multiplicaciones, entre otras cosas, para hallar la ecuación. Algunos ejemplos son:

• x . (x + 1) = 56
• (x + 2)² = 81
• x² - 9 = 3x + 1

La forma de ordenar las ecuaciones cuadráticas para que sea más prolijo a la hora de resolver es ubicando siempre primero el término de segundo grado, luego el término lineal, y luego el término independiente.

Hay dos tipos de ecuaciones de segundo grado: las completas o incompletas:

• Las ecuaciones cuadráticas completas son aquellas que poseen todos sus términos, es decir que tienen término cuadrático, lineal e independiente. Con esto queremos decir que a, b y c son distintos de cero.
• Las ecuaciones cuadráticas incompletas en cambio, son aquellas en las que b o c, o ambos coeficientes son iguales a cero. Recordemos que para que una ecuación sea cuadrática a debe ser distinto de cero.

Ahora bien, las ecuaciones cuadráticas pueden tener diferentes resultados, que pueden ser dos soluciones, una solución o ninguna.

Para ello, debemos primero resolver estas ecuaciones, y dependerá exclusivamente del tipo de ecuación que tengamos delante. Esto quiere decir, que no utilizamos el mismo método de resolución si la ecuación es completa que si la ecuación es incompleta.

Veremos ahora, las diferentes formas de resolverlas dependiendo del tipo de ecuación que estemos trabajando.

Los diferentes métodos que podemos utilizar para la resolución de ecuaciones cuadráticas depende del tipo de ecuación que estemos trabajando.

Ecuación de segundo grado con b=0

Si la ecuación de segundo grado es del tipo incompleta con el coeficiente b=0, es decir de la forma ax² + c = 0, resolvemos de la siguiente manera. Utilizamos un ejemplo para ello.

Hallar el o los valores de x si la ecuación es:

x² - 16 = 0

Para comenzar, debemos despejar x, es decir que el término independiente c lo cancelamos y lo pasamos del otro lado del igual. Entonces:

x² = 16

Ahora bien, si queremos dejar la incógnita sin su exponente, debemos cancelar con una raíz cuadrada, por lo que realizamos la raíz cuadrada de 16.

• x = raíz cuadrada(16)
• x = 4 y x = -4

Esto arroja dos resultados posibles ya que 4 al cuadrado es igual a 16 pero también -4 al cuadrado es igual a 16.

En este caso, la raíz cuadrada es positiva, por lo que encontramos dos valores posibles de la incógnita, pero en caso de que la raíz cuadrada sea a un número negativo, la ecuación no tendría solución posible.

Ecuación de segundo grado con c=0

Si la ecuación de segundo grado es del tipo incompleta con el coeficiente independiente c=0, es decir de la forma ax² + bx = 0, resolvemos de la siguiente manera. Utilizamos un ejemplo para ello.

Hallar el o los valores de x si la ecuación es:

4x² - 3x = 2x² + 7x

A simple vista comprobamos que hay cuatro términos dentro de la ecuación y que las incógnitas están elevadas al cuadrado o son lineales, por lo que primero vamos a juntarlos y obtener un solo término de cada una. Entonces:

4x² - 2x² - 3x - 7x = 0

Resolvemos

2x² - 10x = 0

Ahora podemos ver, que ambos términos tienen en común una x en sus términos, por lo que la forma en que vamos a resolver es sacar factor común.

x . (2x - 10) = 0

Para que la ecuación sea igual a cero, la primera x que se encuentra fuera del paréntesis puede tomar como único valor el cero, ya que al multiplicarlo con todo lo demás obtendremos cero nuevamente y se comprueba la ecuación. Entonces un resultado de x será x=0. La otra parte, la del paréntesis la igualamos a cero para conocer su resultado.

2x - 10 = 0

Resolvemos

• 2x = 10
• x = 10/2
• x = 5

Por lo tanto los resultados de la ecuación de segundo grado incompleta son x = 0 y x = 5.

Ecuación de segundo grado completa

Si la ecuación de segundo grado es del tipo completa, es decir de la forma ax² + bx + c = 0, resolvemos utilizando una fórmula general para hallar los valores de la incógnita.

La fórmula es la siguiente:

x1, x2 = [-b +- raíz cuadrada (b² - 4 . a . c)] / 2.a

Donde a, es el coeficiente cuadrático, b el coeficiente lineal y c el término independiente.

Dentro de la raíz, encontramos el discriminante que es b² - 4 . a . c, que de acuerdo a su resultado, la ecuación tendrá diferentes soluciones. Si el discriminante es positivo, la ecuación tendrá dos soluciones. Si el discriminante es cero, la ecuación tendrá una única solución. Y si el discriminante es negativo, la ecuación no tendrá solución alguna.

Utilizamos un ejemplo para entender cómo realizar este tipo de ecuaciones.

Hallar el o los valores de x si la ecuación completa es:

x² + 4x - 21 = 0

Planteamos primero la fórmula:

x1, x2 = [-b +- raíz cuadrada (b² - 4 . a . c)] / 2.a

Reemplazamos los valores de la ecuación que tenemos que resolver, siendo a=1, b=4 y c=-21

x1, x2 = [-4 +- raíz cuadrada (4² - 4 . 1 . -21)] / 2.1

x1, x2 = [-4 +- raíz cuadrada (16 + 84)] / 2

x1, x2 = [-4 +- raíz cuadrada (100)] / 2

x1, x2 = [-4 +- 10] / 2

Ahora sí, como el discriminante es positivo, sabemos que tendremos dos resultados de la ecuación cuadrática. Debemos dividir las dos opciones de resultados posibles, que son:

x1 = [-4 + 10] / 2 = 6 / 2 = 3

x2 = [-4 - 10] / 2 = -14 / 2 = -7

Entonces, las dos soluciones de la ecuación de segundo grado son x = 3 y x = -7.

Veamos un ejemplo de ecuaciones cuadráticas completas con resultado único.

Hallar el o los valores de x si la ecuación completa es:

9x² - 12x + 4 = 0

Planteamos primero la fórmula:

x1, x2 = [-b +- raíz cuadrada (b² - 4 . a . c)] / 2.a

Reemplazamos los valores de la ecuación que tenemos que resolver, siendo a=9, b=-12 y c=4

x1, x2 = [12 +- raíz cuadrada (12² - 4 . 9 . 4)] / 2.9

x1, x2 = [12 +- raíz cuadrada (144 - 144)] / 18

x1, x2 = [12 +- raíz cuadrada (0)] / 18

x1, x2 = [12 +- 0] / 18

Ahora sí, como el discriminante es igual a cero, sabemos que la ecuación tendrá una única solución.

x1 = 12 / 18 = 2/3

Entonces, la solución de la ecuación de segundo grado es x = 2/3.

Veamos un ejemplo de ecuaciones cuadráticas completas sin solución.

Hallar el o los valores de x si la ecuación completa es:

x² + x + 3 = 0

Planteamos primero la fórmula:

x1, x2 = [-b +- raíz cuadrada (b² - 4 . a . c)] / 2.a

Reemplazamos los valores de la ecuación que tenemos que resolver, siendo a=1, b=1 y c=3

x1, x2 = [-1 +- raíz cuadrada (1² - 4 . 1 . 3)] / 2.1

x1, x2 = [-1 +- raíz cuadrada (1 - 12)] / 2

x1, x2 = [-1 +- raíz cuadrada (-11)] / 2

Ahora sí, como el discriminante es negativo, sabemos que la ecuación tendrá no tendrá solución.

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