Cuál es el teorema de los catetos
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El teorema de los catetos es fundamental para el estudio de los catetos de un triángulo rectángulo a partir de la medida de las proyecciones de la altura con respecto a la hipotenusa. En una nueva lección de unProfesor veremos cuál es el teorema de los catetos. Estudiaremos sus fórmulas y realizaremos algunos ejemplos de cómo utilizarlos.
Qué es el teorema de los catetos
El teorema de los catetos es una de las propiedades más importantes que tienen los triángulos rectángulos ya que permite establecer una relación entre las longitudes de los catetos con la hipotenusa y a su vez las proyecciones que se generan de los catetos sobre esta.
El teorema de los catetos está estrechamente relacionado con el teorema de Pitágoras debido a que ambos trabajan con triángulos rectángulos, las nociones de catetos e hipotenusa y devuelven una serie de resultados geométricos que son fundamentales para algunos cálculos.
Recordemos que los triángulos rectángulos son aquellos que tienen un ángulo recto mientras que sus otros dos ángulos son agudos. El lado que se encuentra opuesto a este ángulo de 90° sexagesimales tiene el nombre de hipotenusa y los lados que forman ese ángulo se denominan catetos. Los catetos siempre son de menor longitud que la hipotenusa.
Aquí te contamos qué es un cateto y cuáles son los tipos de catetos que hay.
Ejemplo del teorema de los catetos
Consideremos un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es H, y los catetos son a y b. Se puede trazar una línea que cruza desde el vértice del ángulo de 90° sexagesimales de forma perpendicular a la hipotenusa. Esta línea se denomina altura y divide a la hipotenusa en dos segmentos que son las proyecciones que tienen los catetos sobre esta. A su vez la altura que trazamos forma dos triángulos rectángulos dentro del principal, por lo tanto dos ángulos rectos entre la altura y la hipotenusa.
Si llamamos D al vértice que se genera entre la altura y la hipotenusa, entonces sabemos que del triángulo rectángulo ABC original, obtenemos dos triángulos rectángulos ACD y BDC.
A los nuevos dos segmentos que se forman en estos triángulos los llamamos m y n, siendo n la proyección del cateto b y siendo m la proyección del cateto a.
El teorema de los catetos establece que:
“Para todo triángulo rectángulo, los catetos son la medida geométrica entre la hipotenusa y la proyección de sus catetos”. Las fórmulas son:
H / a = a / m → a2 = m . H → a = raíz cuadrada (m . H)
H / b = b / n → b2 = n . H → b = raíz cuadrada (n . H)
Este teorema se utiliza generalmente para calcular el valor de los catetos de un triángulo rectángulo sabiendo como dato el valor de las proyecciones de estos catetos. La hipotenusa, es la suma de las proyecciones, por lo que también podemos realizar el cálculo si tenemos una proyección y la medida de la hipotenusa. Sabiendo esto, podemos también calcular el perímetro del triángulo rectángulo original.
Ejercicio de cómo utilizar el teorema de los catetos
Veremos un ejercicio de cómo utilizar el teorema de los catetos cuándo el enunciado de un problema únicamente nos da como dato, el valor de las proyecciones.
1) Calcular el perímetro de un triángulo rectángulo cuyas proyecciones son n = 4 cm y m = 6 cm.
Solución
Para poder calcular el perímetro del triángulo rectángulo, debemos conocer las longitudes de los lados que lo forman, y para ello debemos utilizar el teorema de los catetos ya que como dato solo conocemos las proyecciones de estos.
Como la hipotenusa es la suma de la proyecciones, entonces:
H = n + m = 4 cm + 6 cm = 10 cm
Ahora utilizamos las fórmulas del teorema para hallar los catetos.
a = raíz cuadrada (m . H)
a = raíz cuadrada (6 . 10)
a = raíz cuadrada (60)
a = 7,7 cm
El cateto “a” mide 7,7 cm.
b = raíz cuadrada (n . H)
b = raíz cuadrada (4 . 10)
b = raíz cuadrada (40)
b = 6,3 cm
El cateto “b” mide 6,3 cm.
Entonces, el perímetro del triángulo rectángulo es la suma de H + a + b.
P = 10 + 7,7 + 6,3 = 24 cm.
Ahora veremos un ejemplo de cómo calcular el perímetro de un triángulo rectángulo sabiendo el valor de la hipotenusa y la longitud de una de las proyecciones de los catetos.
Calcular el perímetro de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 13 cm y la proyección “n” de uno de los catetos mide 5 cm.
Solución
Para conocer el perímetro del triángulo rectángulo debemos conocer la medida de los catetos. Sabiendo que la hipotenusa mide 13 cm y la proyección del cateto “b” es n = 5 cm podemos deducir la medida de la proyección “m”.
Como la suma de las proyecciones es igual a la hipotenusa, realizamos la diferencia entre H y n, y obtenemos m.
m = H - n = 13 - 5 = 8 cm
Ahora utilizamos el teorema de los catetos para hallar a y b.
a = raíz cuadrada (m . H)
a = raíz cuadrada (8 . 13)
a = raíz cuadrada (104)
a = 10,2 cm
La medida del cateto a = 10,2 cm.
b = raíz cuadrada (n . H)
b = raíz cuadrada (5 . 13)
b = raíz cuadrada (65)
b = 8,06 cm
La medida del cateto b = 8,06 cm
Ahora sumamos las medidas de los catetos y la hipotenusa y obtenemos como resultado el perímetro.
P = 13 + 8,06 + 10,2 = 31,26 cm
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