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Teorema del seno

Teorema del seno

El teorema del seno se utiliza en triángulos para conocer la medida de la longitud de un lado o la amplitud de un ángulo interior, ya que establece una relación de proporción entre lados y senos de los ángulos opuestos interiores a ellos. En una nueva lección de unProfesor estudiaremos qué dice el teorema del seno. Comenzaremos con su fórmula, seguiremos con su aplicación para terminar con algunos ejemplos y ejercicios resueltos.

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¿Qué dice el teorema del seno?

El teorema del seno establece una relación de proporción entre la medida o longitud de los lados de un triángulo cualquiera con el seno de sus ángulos opuestos interiores. Es decir, que existe una relación matemática de proporcionalidad entre la longitud de los lados de un triángulo con los senos de los ángulos interiores que son opuestos a ellos.

Para poder utilizar la fórmula del teorema del seno es necesario conocer el valor de la longitud de dos lados del triángulo y la medida de su ángulo interior opuesto o también la medida de dos ángulos y un lado opuesto a alguno de ellos.

Los ejercicios que se pueden resolver con este teorema, son aquellos donde se quiere conocer la medida de uno de los lados de un triángulo o la amplitud de un ángulo. Como dijimos anteriormente, se deben conocer algunos valores previos para poder resolverlo y obtener un resultado.

Aquí te dejamos las características de un triángulo.

Teorema del seno: fórmula

La longitud de los lados de un triángulo cualquiera son proporcionales al seno de sus ángulos opuestos.

Con esto queremos decir que, cada lado establece una relación de proporcionalidad con el seno del ángulo opuesto.

Veamos la fórmula del Teorema del seno:

Tenemos un triángulo cualquiera cuyos ángulos interiores son A, B y C. Los lados del mismo los vamos a nombrar teniendo en cuenta que cada lado opuesto a un ángulo llevará el mismo nombre pero con una letra minúscula, entonces el lado opuesto al ángulo A se llamará a, el opuesto a B se llamará b mientras que el lado opuesto a C se llamará c.

Entonces la fórmula del teorema del seno será:

a / senA = b / senB = c / senC

Si bien el teorema del seno establece la relación entre los tres lados y los tres ángulos, para resolver los ejercicios se utiliza una igualdad entre dos razones, por lo que necesitamos conocer tres valores para averiguar el resultado del cuarto valor faltante.

Teorema del seno - Teorema del seno: fórmula

¿Cómo se aplica el teorema del seno?

Averiguar el valor del ángulo B de un triángulo cuyas medidas son a = 6 cm, b = 8 cm y el ángulo A = 45°.

Primero planteamos el teorema del seno con los lados a y b, y los ángulos A y B:

a / senA = b / senB

Reemplazamos los valores conocidos:

6 / sen45 = 8 / senB

Aplicamos el producto cruzado de proporcionalidad:

6 . senB = 8 . sen45

Despejamos ahora como una ecuación:

senB = (8 . sen45) / 6

Y luego aplicamos la operación inversa del seno de un ángulo para despejar B y obtener el resultado:

B = arcsen (8 . sen45) / 6

B = 70°

Entonces la medida del ángulo interior B que obtuvimos es igual a 70°.

Aquí te dejamos la función del seno.

Teorema del seno: ejemplos

Otro ejemplo que podemos visualizar a la hora de utilizar el teorema del seno, es cuando tenemos la medida de dos ángulos interiores de un triángulo y uno de sus lados opuestos, y queremos averiguar el valor del lado faltante.

Tenemos un triángulo cualquiera, y sabemos que A = 40° y C = 95°. El lado a tiene una longitud de 20 cm y queremos averiguar la medida del lado c.

Para ellos utilizamos la fórmula del teorema del seno:

a / senA = c / senC

Reemplazamos con los valores que conocemos:

20 / sen40 = c / sen95

Aplicamos el producto cruzado por la proporcionalidad:

20 . sen95 = c . sen40

Despejamos c de la ecuación:

(20 . sen95) / sen40 = c

30.99 = c

Entonces la longitud del lado c = 30.99 cm.

Si queremos conocer el valor del ángulo B, sabiendo que su lado b, mide 22 cm podemos resolverlo con los valores de A y a que sabíamos según el ejercicio o el valor de C conocido y c obtenido. Siempre es recomendable utilizar los valores otorgados por el ejercicio para evitar posibles errores.

Utilizamos nuevamente la fórmula del seno:

a / senA = b / senB

Reemplazamos por los valores que conocemos:

20 / sen40 = 22 / senB

Aplicamos producto cruzado:

20 . senB = 22 . sen40

Despejamos la ecuación:

senB = (22 . sen40) / 20

Aplicamos la operación inversa al seno:

B = arcsen ((22 . sen40) / 20)

B = 45°

El valor del ángulo B = 45°

Teorema del seno: problemas resueltos

Te dejamos problemas resueltos del Teorema del Seno para que puedas practicar en casa.

Problema 1

Un triángulo cualquiera tiene medida de sus lados a=15 cm y c= 17 cm, y sabemos que el ángulo C = 60°. ¿Cuánto mide la amplitud de A?

Aplicamos el teorema del seno

a / senA = c / senC

Reemplazamos por los valores que conocemos

15 / senA = 17 / sen60

Aplicamos producto cruzado

15 . sen60 = 17 . senA

Despejamos de la ecuación

(15 . sen60) / 17 = senA

Aplicamos la operación inversa del seno

arcsen((15 . sen60) / 17) = A

49.8° = A

La amplitud de A mide 49.8°.

Problema 2

Tenemos un triángulo cuyas medidas de ángulos interiores son B=30° y C=80° y lado b=12 cm. ¿Cuál es la longitud del lado c?

Aplicamos el teorema del seno

b / senB = c / senC

Reemplazamos por los valores que conocemos

12 / sen30 = c / sen80

Aplicamos producto cruzado

12 . sen80 = c . sen30

Despejamos de la ecuación

(12 . sen80) / sen30 = c

23.63 = c

La longitud de c es 23.63 cm.

Ahora bien, conocemos también el lado a que mide 22.55 cm y queremos averiguar la apertura de A.

Aplicamos el teorema del seno

a / senA = b / senB

Reemplazamos por los valores que conocemos

22.55 / senA = 12 / sen30

Aplicamos producto cruzado

22.55 . sen30 = 12 . senA

Despejamos de la ecuación

(22.55 . sen30) / 12 = senA

Aplicamos la operación inversa del seno

arcsen((22.55 . sen30) / 12) = A

70° = A

La amplitud de A mide 70°.

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16 comentarios
laura vanesa
necesito que me ayuden con el trabajo de matematicas que no puedo resolverla de matematicas del teorema del seno y es de animoplanos como hago para las resolver las preguntas de,matematicas
necesito su respueta y para desarrollarla del animoplanos
Lucio
Por que A+B+C es igual a 180
Pau
porque todos los angulos de un triangulo sumados siempre son 180 grados
Dayana Villota Meneses
Sea ABC un triangulo rectangulo en A. Si el segmento AB mide 20 cm y el angulo B opuesto a ese lado mide 42°. Calcula: a) el lado AC b) el lado BC c) el angulo y
alexis
Profesor buenas, necesito ayudo con lo siguiente : en la teoria del seno me dan 2 de sus angulos y un solo lado, tengo 4 preguntas asi... Por favor, gracias
ana cordoba
Muchas gracias por tu explicaciòn!!!! cualquier duda, te aviso!!! Abrazo desde Argentina!!!
ana cordoba
Muchas gracias por tu explicaciòn!!!! cualquier duda, te aviso!!! Abrazo desde Argentina!!!
alex
muy buena la explicacion... ya en breve tendre mis preguntas
xavier
Hola tengo una duda al respecto de la configuración de la calculadora para hacer este tipo de operaciones, no se si sabrías esclarecerme un poco como hacerlo. la otra duda es sobre el resultado del ángulo A, tenéis algún video que explique el arco secante?
Aina
Hola Toni, Tengo una duda, he hecho los ejercicios y la igualdad me coincide (y para calcular las incógnitas he usado siempre los datos dados en el ejercicio), pero no me coincide con las soluciones. Puede ser que sea por los decimales? O tiene que dar exactamente igual que las soluciones? Gracias!!! Saludos, Aina.
nattaly
como esta queria saber como puedo desarollar este problema un terraplen de ferrocarril se levanta sobre un plano horizontal se requier encontrar en un pnto a
Marha Nelly Melgoza
Estoy estudiando PREPA abierta y tengo q resolver este problema con ecuación me pude decir como plantearlo y resolverlo Dice en una granja dentro de una cerca hay conejos y gallinas si hay 61 sesenta y un cabezas y 196 patas cuantos conejos y gallinas hay me lo pudiera explicar gracias
Fredy Quiroa
Muy bueno me ha ayudado mucho
miguel piedrahita
si tengo un angulo y dos lados yas resueltos como encuentro los otros dos angulos y el lado que falta
johnjoseph
profe esto aplica para la ley de coseno
karen
hola! quisiera saber si el teorema el coseno aplica para todo tipo de triangulos?
Marina
Un aeroplano que se encuentra en el punto A de la figura se observado por dos estaciones terrestres y ubicadas en Howard y MC connell. A que distancia se encuentra el aeroplano de la ciudad de Hazard?
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