Fórmula de la recta tangente: ejercicios
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Existe una fórmula que puede utilizarse para calcular la recta tangente a una curva. Esto es muy sencillo cuando conocemos los tres elementos fundamentales para hacerlo y estos son: la función, su derivada y el punto. En una nueva lección de unProfesor estudiaremos la fórmula de la recta tangente y ejercicios.
La fórmula de la recta tangente a una función
A la recta que toca una curva en un punto específico y que además de esto, tiene la misma dirección que la curva en ese punto determinado, se la denomina recta tangente.
Cuando hablamos de cálculo diferencial, podemos conocer cómo se comporta cada función en un punto determinado. Esta es una de las aplicaciones más utilizadas e importantes de la derivada.
Esta es la fórmula de la recta tangente
Si tenemos una función F(x) y queremos calcular la recta tangente a esa curva en un punto en el que la coordenada x = a, entonces primero calculamos la función en ese punto.
P = (a, F(a))
Después determinamos la pendiente m de la recta tangente, calculando la derivada en ese punto.
m = F´(a)
Por lo tanto la fórmula de la recta tangente en el punto x = a es:
T: y - F(a) = F´(a) . (x - a)
Esta es la fórmula más utilizada para resolver problemas que tienen relación con el cálculo de una recta tangente.
Elementos para utilizar la fórmula
Los tres elementos principales que se necesitan para utilizar la fórmula de la recta tangente y resolver cualquier ejercicio que se nos plantee son:
- Una función
- La derivada de la función
- La coordenada x del punto
El ejercicio puede darnos como dato una función y la coordenada del punto para que nosotros hallemos la derivada de la función, pero estos tres elementos debemos conocerlos para poder utilizar la fórmula.
Pasos a seguir para calcular la recta tangente en un punto
Existe una serie de pasos a seguir para poder calcular la recta tangente en un punto utilizando la fórmula.
- Primer paso: el primer paso es distinguir cuál es la función y cuál la coordenada x.
- Segundo paso: reemplazar la coordenada x en la función para conocer la coordenada y.
- Tercer paso: Hallar la derivada de la función.
- Cuarto paso: Calcular la derivada en la coordenada x del punto y de esta manera hallar la pendiente m.
- Quinto paso: Aplicar la fórmula para resolver y hallar la fórmula de la recta tangente.
Ejemplo de cómo hallar la ecuación de la recta tangente a una curva
Hallar la recta tangente de la función F(x) = x2 en x = 2.
La función es F(x) = x2 y la coordenada en x es 2.
Reemplazamos x = 2 en F(x), entonces:
F(2) = 22 = 4
El punto es P=(2,4)
La derivada de la función F(x) = x2 es F´(x) = 2x. Ahora calculamos F´(2) = 2.2 = 4. Por lo tanto la pendiente de la recta es m = 4.
Por último, aplicamos la fórmula de la recta tangente y obtenemos:
T: y - F(a) = F´(a) . (x - a)
T: y - F(2) = F´(2) . (x - 2)
T: y - 4 = 4 . (x - 2)
T: y - 4 = 4x - 8
T: y = 4x - 4
Por lo tanto, la recta y = 4x - 4 es tangente a la función y = x2 en el punto P=(2,4).
Ejercicios y soluciones
Veamos dos ejercicios de cómo encontrar la recta tangente a una función
- Hallar la ecuación de la recta tangente a la función F(x) = x2 + 3x en el punto x = 1.
- Encontrar la ecuación de la recta tangente a la función G(x) = x3 - 3 en el punto x = -1.
Soluciones
1- Seguimos los pasos para encontrar la ecuación de la recta tangente, entonces la función en el punto x = 1 es:
F(1) = 12 + 3.1 = 1 + 3 = 4
El punto es P= (1,4)
Ahora realizamos la derivada de la función F
F´(x) = 2x + 3
La pendiente es F´(1) = 2.1 + 3 = 2 + 3 = 5
Por lo que m = 5
Por último, utilizamos la fórmula de la recta tangente:
T: y - F(a) = F´(a) . (x - a)
T: y - F(1) = F´(1) . (x - 1)
T: y - 4 = 5 . (x - 1)
T: y - 4 = 5x - 5
T: y = 5x - 1
Por lo tanto, la recta y = 5x - 1 es tangente a la función y = x2 + 3x en el punto P=(1,4).
2- Debemos encontrar la recta tangente a la función G(x) = x3 - 3 en el punto x = -1. Para ello seguimos los pasos antes descritos.
Primero identificamos la función y el punto G(x) = x3 - 3 con la coordenada x = -1. Calculamos el punto P.
G(-1) = (-1)3 - 3 = -1 - 3 = -4
Por lo tanto el punto es P = (-1, -4).
Ahora, la derivada de la función G.
G´(x) = 3x2
Para hallar la pendiente m, calculamos la derivada en x = -1.
G´(-1) = 3. (-1)2 = 3 . 1 = 3
Para finalizar, utilizamos la fórmula para encontrar la recta tangente.
T: y - G (a) = G´(a) . (x - a)
T: y - G(-1) = G´(-1) . (x + 1)
T: y + 4 = 3 . (x + 1)
T: y + 4 = 3x + 3
T: y = 3x - 1
Por lo tanto, la recta y = 3x - 1 es tangente a la función y = x3 - 3 en el punto P =(-1, -4).
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