Comprobar si un punto pertenece a una recta

Para comprobar si un punto determinado pertenece a una recta, simplemente debo reemplazar el valor de x en la función correspondiente. Si el resultado es igual a la y del punto, entonces el punto pertenece a la recta, si los valores son diferentes entonces el punto NO pertenece a la recta.

Ejemplo

Queremos determinar si el punto P=(1,2) pertenece a la recta y = x + 1

• Vamos a reemplazar el valor de x en la función.
• Si x = 1 entonces:
• y = 1 + 1 = 2
• Como el punto es (1,2) entonces, el punto SI pertenece a la recta.

Veamos otro ejemplo

Queremos determinar si el punto P = (3,4) pertenece a la recta y = x - 2

1. Vamos a reemplazar el valor de x en la función.
2. y = 3 - 2 = 1
3. Como 1 es distinto que 4, entonces el punto P no pertenece a la recta.

Aquí te dejamos un vídeo en el que te ayudamos a comprobar si un punto pertenece a una recta.

Una función es una relación que se establece entre dos grupos, en donde cada uno de los elementos que pertenecen al primero se relaciona únicamente con un elemento del segundo o hasta quizás con ninguno de ellos, pero jamás con dos o más.

Cada función depende de una variable, que a medida que “cambia” de valor, también modifica el resultado de la misma. Es decir si tienes una función y que depende de x, vamos a tener que para cada valor que tenga “x” el resultado “y” será único y diferente al anterior.

Cuando hablamos de variables, estamos refiriéndonos a magnitudes dentro de un grupo determinado que van cambiando de valor en la medida en que sea posible.

Las funciones lineales son representadas en el plano cartesiano por un línea recta, reflejando la relación entre una variable “x” y otra variable “y” como mencionamos anteriormente. El grupo inicial, es decir el grupo de las “x” se llama Dominio de la función mientras que el grupo imagen o de las “y” se llama Codominio.

Como a cada x le pertenece una y, entonces se escribe (x;y) y se le llama par coordenado. Con una serie de pares coordenados podemos dibujar en el plano cartesiano cualquier función.

Las variables que forman parte del Dominio son independientes, ya que pueden tomar cualquier valor dentro del conjunto, mientras que las variables que están en el Codominio son dependientes, ya que su valor “depende” completamente del valor que tome la “x”.

Las funciones se escriben de la siguiente manera:

f(x) = y → y se lee “la función f de x es igual a y.

Esto significa que debemos aplicar la función f a cada una de las x que pertenezcan al conjunto del Dominio y encontraremos los valores de y que pertenecen al Codominio.

Ejemplos

Veamos un ejemplo sencillo

Sea f(x) = 2.x + 1

Dominio: (1,2,3,4)

Reemplazando la x por los valores que forman parte del dominio, entonces encontraremos los valores del codominio.

• 2 .1 + 1 = 3
• 2 . 2 + 1 = 5
• 2 . 3 + 1 = 7
• 2 . 4 + 1 = 9

Entonces los valores del Codominio: (3,5,7,9)

Con estos valores, podemos dibujar en el plano cartesiano la recta y=2.x + 1

Como mencionamos anteriormente, una función lineal es una recta y por lo tanto sabemos que únicamente se necesitan dos puntos para poder trazarla. Por lo que necesitaremos dos pares coordenados para poder realizarlo.

Ejemplo

Queremos grafica la recta de la función y = 2 x - 1.

Para poder realizarlo, vamos a reemplazar dos valores cualesquiera de x. Así obtendremos dos valores de y, entonces así conseguiremos dos pares coordenados.

• Si x = 1 entonces y = 2 . 1 - 1 = 1 por lo que tenemos P1 = (1, 1)
• Si x = 4 entonces y = 2 . 4 - 1 = 7 por lo que tenemos P2 = (4, 7)

Con estos dos puntos, P1 y P2 podemos dibujar la recta en los ejes cartesianos.

Teniendo en cuenta los cálculos que hicimos anteriormente, para poder saber si dos o más puntos se encuentran alineados, debo saber si estos pertenecen o no a la recta.

Por lo tanto, voy a reemplazar los puntos en la función de la recta, y entonces si obtengo los mismos resultados de cada una de las x para cada una de las y de los pares coordenados, entonces los puntos estarán alineados, caso contrario, no lo estarán.

Ejemplo

Los puntos P1 = (2, 4) y P2 = (4, 8) están alineados si pertenecen a la recta y = 2 .x

Para resolverlo, vamos a reemplazar los valores de x de los pares coordenados y comparar su resultado con la “y” del punto.

• Si P1 = (2, 4) entonces y = 2 .x = 2 . 2 = 4 los resultados son iguales.
• P2 = (4, 8) entonces y = 2 .x = 2 . 4 = 8 los resultados son iguales

Como los puntos P1 y P2 pertenecen a la recta, podemos decir que esos puntos están alineados.

En esta otra lección te contamos cómo saber si tres puntos están alineados.

Aquí te dejamos los ejercicios para hacer en casa. Más abajo, tienes las soluciones para que puedas comprobar tus resultados:

1. Comprobar si el punto P = (5,1) pertenece a la recta y = x - 4
2. Decir si los puntos P1 = (1,4) y P2 = ( 6,7) pertenecen a la recta y = 2 . x + 2. ¿Están alineados?

Soluciones

Aquí te dejamos las soluciones:

1- Para comprobar que P = (5,1) pertenece o no a la recta y = x - 4 reemplazamos x por el valor que corresponde.

y = x - 4 = 5 - 4 = 1

Como el resultado es el mismo, entonces decimos que P=(5,1) pertenece a la recta y =x - 4.

2- Para saber si los puntos P1 = (1,4) y P2 = ( 6,7) pertenecen a la recta y = 2 . x + 2, reemplazamos x en la función y comparamos el resultado.

y = 2 . x + 2 = 2 . 1 + 2 = 4

y = 2 . x + 2 = 2 . 6 + 2 = 14

El punto P2 tiene un valor diferente al que corresponde al par coordenado, por lo tanto el punto P2 NO pertenece a la recta. Mientras que el punto P1 SI pertenece a la misma. Como no pertenecen ambos puntos a la misma recta, entonces podemos asegurar que los puntos P1 y P2 NO se encuentran alineados.

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