Cuál es el teorema del binomio de Newton
Cuando hablamos del teorema del binomio de Newton nos referimos al cálculo de la expansión de un binomio que está elevado a una potencia positiva y entera. En una nueva lección de unProfesor veremos cuál es el teorema del binomio de Newton. Comenzaremos con su definición, repasamos qué es un binomio y un caso especial muy conocido. Luego desarrollamos el teorema y para finalizar vemos cómo calcular un término específico del desarrollo del binomio.
Índice
Introducción al Teorema del Binomio de Newton
El teorema del binomio de Newton nos enseña cuál es el desarrollo de un binomio cuando se encuentra elevado a una potencia. Para realizarlo debemos tener en cuenta que el exponente al cual estará elevado el binomio debe ser siempre un número entero y positivo.
Pero, ¿qué es un binomio?
Un binomio es una noción que se utiliza en matemáticas y se traduce como “porción” o “parte”, lo que significa que estará formado por dos partes en este caso por el prefijo “bi”. Los binomios son expresiones algebraicas que están formadas por dos términos, es decir expresiones formadas por sumas o restas con dos términos.
Ahora bien, el binomio de Newton es una fórmula que se utiliza para poder averiguar las potencias de cualquier binomio.
Uno de los casos especiales de este teorema es el “cuadrado de un binomio”. Es el más conocido y fácil de calcular y se conoce la fórmula de cómo resolverlo.
“El cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo”
Cuando hablamos de primero y segundo estamos refiriéndonos a los términos que forman el binomio.
(a + b)2= a2 + 2 a b + b2
Pero ¿qué pasa cuando el binomio no está elevado al cuadrado y tiene otra potencia mayor?
Entonces allí, se utiliza el teorema del binomio de Newton, donde se utiliza la expansión para convertirlo en una suma más larga de términos.
Denominamos expansión a la conversión de la suma elevada a una potencia en una serie de sumas.
En esta otra lección de te descubrimos las diferentes partes de un binomio.
La fórmula del teorema del binomio de Newton
Se llama teorema del binomio de Newton a la expansión de un binomio que está elevado a una potencia entera y positiva. Este teorema nos permite encontrar las potencias del binomio.
(a + b)n= (n 0)a2 b0 + (n 1)an-1b + (n 2)an-2 b2 + (n 3)an-3 b3 + ….. + (n n)a0bn
La cantidad de términos que tendrá nuestra expansión será igual a n+1, es decir un término más con respecto al número ubicado en la potencia del binomio.
En la secuencia del desarrollo que realizamos en el binomio podemos observar que las potencias de a van disminuyendo de n a 0, mientras que los exponentes de b van aumentando de 0 a n. Si uno de los términos del binomio es negativo, entonces se van alternando los signos positivos y negativos en la secuencia o desarrollo del binomio de Newton.
Los coeficientes serán números combinatorios que pertenecen a la fila enésima del conocido triángulo de Tartaglia o de Pascal.
- n=0 1
- n=1 1 1
- n=2 1 2 1
- n=3 1 3 3 1
- n=4 1 4 6 4 1
- n=5 1 5 10 10 5 1
- n=6 1 6 15 20 15 6 1
- n=7 1 7 21 35 35 21 7 1
- n=8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
Ejemplo del teorema del binomio de Newton
Aquí te dejamos un ejemplo de la teorema del binomio de Newton:
(x + 5)4 = (4 0) x4 50 + (4 1) x3 51 + (4 2) x2 52 + (4 3) x1 53 + (4 4) x0 54
Como el binomio es grado 4 entonces utilizaremos la fila del triángulo de Tartaglia que corresponde a n=4 y pondremos los coeficientes correspondientes.
- (x + 5)4 = 1 x4 1 + 4 x3 5 + 6 x225 + 4x125 + 1 1 625
- (x + 5)4 = x4 + 20 x3 + 150 x2 + 4x 125 + 625
Y si quieres repasar en casa, descubre nuestro ejercicio del binomio de Newton, del cual te dejamos un vídeo a continuación:
Cálculo de un término
Ahora bien, si quiero calcular un término que ocupa un lugar específico en la expansión del binomio, podemos utilizar las siguientes fórmulas:
Para (a + b)n calculamos el término m-ésimo así:
Tm = (n m-1) an-(m-1)bm-1
Para (a - b)n calculamos el término m-ésimo así:
Tm = (-1)m-1(n m-1) an-(m-1)bm-1
Veamos un ejemplo
Calcular el cuarto término del desarrollo del binomio (x+4)5
Sabemos que debemos encontrar m=4 con n=5, entonces:
T4 = (5 4-1) x5-(4-1)44-1 = (5 3) x5-343
Buscamos en el triángulo de Tartaglia el coeficientes que corresponde a (5 3) en n=5 y continuamos con los cálculos.
T4 = (5 4-1) x5-(4-1)44-1 = (5 3) x5-343 = 10 x2 64 = 640x2
Entonces podemos decir que el cuarto término del binomio (x+4)5 será 640x2
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