Logaritmos naturales: propiedades y ejemplos
Los logaritmos naturales son inversos a la función exponencial y está solamente definido para aquellos valores que sean positivos y distintos de cero. Esta función cumple con una serie de propiedades que a la hora de resolver ejercicios facilitan mucho ese proceso. En una nueva lección de unProfesor veremos las propiedades de los logaritmos naturales. Comenzando con su definición y dominio para terminar con todas sus propiedades.
Qué son los logaritmos naturales
Un logaritmo natural es la función inversa a la función exponencial e, y se encuentra definido únicamente para valores que sean números reales positivos. Así como la resta es el inverso de la suma, y la división el inverso de la multiplicación, encontramos también que la función inversa a la exponencial es el logaritmo natural. Se expresa como ln(x) donde x puede tomar cualquier valor real positivo.
Recordemos que e es un número irracional que se usa como la única base del logaritmo natural y se caracteriza por sus decimales infinitos y no periódicos.
Estos logaritmos llamados naturales entonces son aquellos cuya base es e, y es comúnmente llamado también como logaritmo neperiano debido a que fue John Neper quien lo utilizó por primera vez. El logaritmo natural de x, es aquella potencia que se eleva a e para obtener como resultado el valor de x.
Entonces, el logaritmo natural resuelve la ecuación:
ey=x
Donde y es el valor que necesitamos encontrar. Por ejemplo, queremos hallar el número que elevado a e, da como resultado 7,38 aproximado. Entonces:
ey=7,38
Despejamos de la ecuación utilizando el logaritmo natural por ser la inversa a la exponencial, y obtenemos:
y = ln(7,38)
y = 2
Podemos comprobar que e2=7,38 aproximado.
Dominio
El dominio del logaritmo natural son los números reales positivos, como ya mencionamos anteriormente, es decir
[x ∈ R / x>0]. Esto se lee, todos los valores de x pertenecientes al conjunto de los reales tal que sean mayores a cero, es decir positivos.
Para aquellos valores que NO cumplen con el dominio, la función logaritmo natural NO existe, es decir no está definida. A su vez podemos asegurar que no existe ningún número que al elevarlo a la función exponencial de como resultado cero.
Aquí te descubrimos los diferentes tipos de logaritmo.
Cuáles son las propiedades de los logaritmos naturales
Aquí te descubrimos las propiedades de los logaritmos naturales.
Logaritmo natural de números negativos
Los logaritmos naturales NO están definidos para valores negativos.
Logaritmo natural de cero
Los logaritmos naturales de cero NO están definidos, ya que NO existe un número que elevado a e, de como resultado cero.
Logaritmo natural de uno
El logaritmo natural de 1 está definido y es igual a cero, es decir
ln(1) = 0
Esto es fácil de comprobar ya que todo número elevado a cero es uno, y entonces e0=1.
Logaritmo natural de infinito
El logaritmo natural de infinito es igual a infinito, es decir
ln(∞) = ∞
Logaritmo natural de la función exponencial
El logaritmo natural de la función exponencial e es igual a uno, es decir
ln(e) = 1
Como las funciones son inversas el resultado es igual a uno.
Logaritmo natural del exponente
El logaritmo natural de la función exponencial elevado a un número, es igual a ese número, es decir
ln(en) = n
Por ejemplo, tenemos n=2 entonces
ln(e2) = 2
2 = 2
Logaritmo natural como exponente
El logaritmo natural de un número a utilizado como exponente de e da como resultado el número a, es decir
e ln(a) = a
Por ejemplo, tenemos a= 5 entonces
e ln(5) = 5
5 = 5
Producto de logaritmos naturales
Seguimos conociendo las propiedades de los logaritmos naturales con este otro. El logaritmo natural del producto entre dos valores es igual a la suma de los logaritmos naturales de esos valores. Es decir,
ln (a . b) = ln (a) + ln (b)
Por ejemplo, tenemos los valores a=5 y b= 7 entonces
ln (5 . 7) = ln(5) + ln(7)
ln(35) = 1,6 + 1,9
3,5 = 3,5
Aproximando el resultado a un decimal, obtenemos la misma respuesta, por lo tanto comprobamos la propiedad.
Cociente de logaritmos naturales
El logaritmo natural del cociente entre dos valores es igual a la diferencia de los logaritmos naturales de estos valores, teniendo en cuenta que siempre es el logaritmo natural del numerador menos el logaritmo natural del denominador. Es decir,
ln (a / b) = ln (a) - ln (b)
Por ejemplo, tenemos los valores a=8 y b= 4 entonces
ln (8 / 4) = ln(8) - ln(4)
ln(2) = 2 - 1,3
0,7 = 0,7
Aproximando el resultado a un decimal, obtenemos la misma respuesta, por lo tanto comprobamos la propiedad.
Potencia de logaritmos naturales
El logaritmo natural de un número elevado a una potencia, es igual a el producto de esa potencia con el logaritmo natural del número. Es decir,
ln(an) = n . ln(a)
Por ejemplo, tenemos el número a=4 y la potencia n=3 entonces
ln(43) = 3 . ln(4)
ln(64) = 3 . 1,38
4,1 = 4,1
Aproximando el resultado a un decimal, obtenemos la misma respuesta, por lo tanto comprobamos la propiedad.
Recíproco de logaritmos naturales
Otra de las propiedades de los logaritmos naturales es esta. El logaritmo natural del recíproco de un número es igual al opuesto del logaritmo natural de dicho número. Es decir,
ln(1/a) = - ln(a)
Por ejemplo, tenemos el número a=6 entonces
ln (1/6) = - ln(6)
-1,79 = -1,79
Aproximando el resultado a un decimal, obtenemos la misma respuesta, por lo tanto comprobamos la propiedad.
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