Qué es un sistema de ecuaciones por reducción

El sistema de ecuaciones por reducción es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas donde sumamos o restamos las dos ecuaciones que forman parte del sistema para eliminar una de las variables. De esa manera obtener una ecuación simple con una sola incógnita para luego hallar su valor.

Las variables que se utilizan en los sistemas de ecuaciones son x e y para representar con su resultado final un punto en el plano cartesiano (x,y). Las soluciones posibles con este método, son las mismas que con cualquier otro, es decir puede ser compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible. Esto quiere decir que puede tener una solución, infinitas soluciones o ninguna.

Para poder “eliminar” una de las incógnitas a veces es necesario multiplicar una de las dos ecuaciones por un número para conseguir que la variable que necesitamos reducir sea igual a la otra, y al momento de restar ambas ecuaciones el resultado sea igual a cero.

Los pasos a seguir para utilizar este método son muy sencillos, y son los siguientes:

• Primer paso: primero hay que acomodar las ecuaciones del sistema de modo tal que las incógnitas x e y estén alineadas así como el término independiente.
• Segundo paso: segundo se multiplica de ser necesario una de las dos ecuaciones para tener la misma incógnita pero de signo contrario en ambas ecuaciones y de esta forma eliminarlas. Por ejemplo, necesitamos 3x y -3x para que el resultado de la suma sea igual a cero.
• Tercer paso: tercero debemos sumar o restar las dos ecuaciones para “eliminar” una de las variables o mejor dicho que el resultado de esa suma o resta sea cero.
• Cuarto paso: una vez que eliminamos una variable, procedemos a resolver la ecuación simple con una sola incógnita que obtenemos del paso anterior. De esta manera hallamos el valor de la variable que nos queda.
• Quinto paso: en este paso final, reemplazamos el valor que obtuvimos en el paso anterior en alguna o ambas ecuaciones del sistema para resolverlas y hallar el valor de la incógnita restante. En este paso, encontramos el punto (x,y).

En esta otra lección te contamos qué es un sistema de ecuaciones por igualación y aquí qué es un sistema de ecuación por sustitución.

Veamos un ejemplo de cómo resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas siguiendo los pasos del método por reducción.

El sistema en cuestión es el siguiente:

• 4x + y = -3
• - 3x + y = 11

Debemos resolver el sistema por reducción y hallar el punto (x,y).

Como primer paso debemos acomodar el sistema, en este caso ya están alineadas las variables y los términos independientes.

• 4x + y = -3
• - 3x + y = 11

En este caso el segundo paso NO es necesario, ya que tenemos en las dos incógnitas una y en los dos casos, por lo que vamos a RESTAR las ecuaciones para obtener el resultado. También se podría multiplicar la segunda ecuación por -1 y sumar ambas ecuaciones para obtener 0y.

4x + y = -3

-

- 3x + y = 11

—---------------

7x + 0y = -14

Ahora bien, podemos resolver la ecuación de una sola variable que obtuvimos al reducir y obtener cero en “y”.

• 7x = -14
• x = -14 / 7
• x = -2

Una vez que encontramos que x = -2 vamos a reemplazar este valor, en las dos ecuaciones para así obtener y comprobar el resultado de la variable y.

En la primera ecuación:

• 4x + y = -3
• 4 . (-2) + y = -3
• -8 + y = -3
• y = - 3 + 8
• y = 5

En la segunda ecuación:

• -3x + y = 11
• -3 . (-2) + y = 11
• 6 + y = 11
• y = 11 - 6
• y = 5

En ambos casos obtenemos como resultado y = 5 por lo tanto el punto es (-2,5).

En caso de querer comprobar que el punto que hallamos es el correcto, se reemplazan los valores de las dos variables en las ecuaciones del sistema y si encontramos el mismo resultado, entonces se comprueba el sistema.

• 4x + y = -3 → 4 . (-2) + 5 = -3 → -8 + 5 = -3 → -3 = -3
• -3x + y = 11 → -3 . (-2) + 5 = 11 → 6 + 5 = 11 → 11 = 11

Comprobamos entonces que el resultado correcto es el punto (-2,5).

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de reducción.

• 5x + y = 22
• 6x + 2y = 28

Solución

Para resolverlo seguimos los pasos del método. Las ecuaciones ya están alineadas, por lo que el primer paso está completo.

Para el segundo paso, no tenemos variables que tengan las mismas unidades, por lo tanto multiplicamos la primera ecuación por 2 para obtener así 2y en ambos casos.

5x + y = 22 multiplicado por 2 obtenemos: 10x + 2y = 44

Ahora, reducimos restando las dos ecuaciones:

10x + 2y = 44

-

6x + 2y = 28

—----------------

4x + 0y = 16

En el cuarto paso, resolvemos la ecuación simple que quedó, entonces:

• 4x = 16
• x = 16 / 4
• x = 4

Una vez que hallamos el valor de x = 4, reemplazamos en las ecuaciones para obtener el resultado de y.

En la primera ecuación:

• 10x + 2y = 44
• 10 . 4 + 2y = 44
• 40 + 2y = 44
• 2y = 44 - 40
• 2y = 4
• y = 4 / 2
• y = 2

En la segunda ecuación:

• 6x + 2y = 28
• 6 . 4 + 2y = 28
• 24 + 2y = 28
• 2y = 28 - 24
• 2y = 4
• y = 4 / 2
• y = 2
• Por lo tanto y = 2. La solución del sistema es el punto (4,2).

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