Qué es un sistema de ecuación por sustitución

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones que poseen las mismas incógnitas y donde el resultado de cada una de ellas es igual en ambas ecuaciones. Es decir, es un conjunto de dos ecuaciones lineales, que están compuestos por dos incógnitas y que el resultado de las dos, o los valores que pueden tomar las dos, es igual para las dos ecuaciones.

Cuando queremos “resolver” un sistema de ecuaciones, estamos justamente hablando de encontrar las soluciones que pueden tomar los valores de las incógnitas.

Generalmente los sistemas de ecuaciones, utilizan las incógnitas x e y, cuyo resultado puede escribirse como un par ordenado, es decir como un punto (x,y) y por lo tanto se puede representar en un eje cartesiano. Esto permite que se puedan graficar las rectas pertenecientes a la función que se plantea de cada ecuación y así ver si las rectas de cortan en un punto, son coincidentes, o jamás se cortan por ser paralelas.

Ejemplo de sistema de ecuaciones lineales

Un ejemplo de sistema de ecuaciones puede ser:

• x + 5y = 5
• 3x - 5y = 3

Aquí te descubrimos los diferentes tipos de ecuaciones lineales.

Un sistema de ecuación por sustitución es uno de los varios métodos que se utilizan para resolver los sistemas de ecuaciones, y consiste en justamente “sustituir” una variable de unas de las ecuaciones y reemplazarla en la ecuación restante.

Es decir, despejamos de una de las ecuaciones una incógnita, y luego en la siguiente ecuación la reemplazamos, entonces así generamos una ecuación lineal de una sola variable. Una vez hallado el resultado, sustituimos el valor en la ecuación que habíamos despejado, y así encontramos los dos valores de las incógnitas.

Veamos un ejemplo de sistema de ecuación por sustitución para comprender en profundidad cómo se utiliza este método. Utilizamos un sistema de ecuaciones como ejemplo:

• x - y = 31° ecuación
• 7x - 3y = 52° ecuación

Despejamos la incógnita x en la primera ecuación, entonces:

x = 3 + y

Ahora sustituimos en la segunda ecuación la x por 3 + y, y resolvemos para hallar el valor de y:

• 7 . (3 + y) - 3y = 5 aplicamos la propiedad distributiva
• 21 + 7y - 3y = 5resolvemos la resta de incógnitas y acomodamos
• 4y = 5 - 21resolvemos la resta
• 4y = -16dividimos
• y = -16 / 4
• y = -4

Por lo tanto, aplicado el método de sustitución, encontramos el valor de y. Ahora, sustituimos ese valor en la ecuación que despejamos al principio, y obtenemos el resultado de x.

• x = 3 + y reemplazamos y = -4
• x = 3 + (-4)
• x = 3 - 4
• x = -1

Entonces la solución del sistema de ecuación es el par ordenado (-1, -4).

Los resultados de los sistemas de ecuaciones pueden verificarse al sustituir en ambas ecuaciones los valores obtenidos para comprobar que se verifiquen. En este caso:

• x - y = 3 7x - 3y = 5
• -1 - (-4) = 37. (-1) - 3. (-4) = 5
• -1 + 4 = 3-7 + 12 = 5
• 3 = 35 = 5

Se verifican las soluciones, por lo tanto realizamos correctamente el método de sustitución.

Los sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas pueden tener diferentes resultados de las soluciones, es decir no siempre se obtiene una única respuesta. Las posibilidades son las siguientes.

Sistema con una solución

También llamado sistema compatible determinado, consiste en hallar una solución única tanto para el valor de x como para el valor de y. Un ejemplo de este caso sería el que utilizamos para explicar el método de sustitución, donde encontramos un punto que satisface a las dos ecuaciones. Este tipo de soluciones se representa con dos rectas que se cortan en un único punto el cuál es el par ordenado que hallamos en la respuesta.

Sistema con infinitas soluciones

También llamado sistema indeterminado, consiste en obtener un conjunto infinito de soluciones que satisfacen a las dos ecuaciones que forman parte del sistema. Esto quiere decir, que los valores que pueden tomar las incógnitas son infinitos. Este tipo de soluciones se representa con dos rectas coincidentes, es decir que todos los puntos de las dos ecuaciones coinciden, son iguales. Un ejemplo de esta solución, lo realizamos con el método de sustitución y es:

• 2x + y = 71° ecuación
• 4x + 2y = 142° ecuación

Despejamos y de la primera ecuación

y = 7 - 2x

Sustituimos y, en la segunda ecuación

• 4x + 2 . (7 - 2x) = 14aplicamos propiedad distributiva
• 4x + 14 - 4x = 14acomodamos
• 4x - 4x = 14 - 14restamos
• 0x = 0

Cuando obtenemos este resultado, podemos asegurar que las soluciones son infinitas, es decir, podemos utilizar cualquier número en x o en y en las dos ecuaciones que se verificarán las ecuaciones.

Sistema sin solución

También llamado sistema incompatible, consiste en no poder encontrar ninguna solución que satisfaga las ecuaciones. En la gráfica, se representa a partir de dos rectas que no se cortan en ninguno de sus puntos infinitos, es decir las rectas son paralelas. Un ejemplo que podemos ver con el método de sustitución sería:

• 2x + y = 01° ecuación
• 2x + y = 72° ecuación

Despejamos y de la primera ecuación

y = 0 - 2x

Sustituimos y en la segunda ecuación

• 2x + (0 - 2x) = 7acomodamos
• 2x - 2x = 7resolvemos
• 0x = 7

Cuando obtenemos este tipo de resultados rápidamente entendemos que no es posible que 0x sean iguales a 7, ya que todo número multiplicado por 0 es igual a 0, por lo tanto el sistema es incompatible, es decir no tiene resultado.

Aquí te contamos cómo resolver ecuaciones con dos incógnitas.

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