Inecuaciones polinómicas: ejercicios

Las inecuaciones polinómicas son aquellas en las que uno de sus términos es un polinomio de cualquier grado, mientras que el otro término es igual a cero. Es decir, un polinomio cuya desigualdad es cero. En principio, estas inecuaciones se resuelven como una ecuación común y corriente, pero al momento de plantear el conjunto solución aparece la necesidad de elegir cuáles son los intervalos que realmente cumplen con la desigualdad.

Las inecuaciones polinómicas pueden tener diferentes grados, dependiendo de cuál es el mayor exponente que tiene el polinomio. Una inecuación polinómica de grado n tiene la forma:

an.xⁿ + a(n-1).x^(n-1) + a(n-2).x^(n-2) + …… + a1.x¹ + a0.x⁰ > 0

Los coeficientes son aquellos números an, a(n-1), a(n-2), …. , a0 que acompañan a las incógnitas.Recordemos que a0 debe ser siempre distinto de cero.

Ejemplos de inecuaciones polinómicas

Algunos ejemplos de inecuaciones polinómicas pueden ser:

• 2x - 4 > 7 - 4x es una inecuación polinómica de grado 1.
• -3x⁴ + 2x² - 5 < 4x⁴ es una inecuación polinómica de grado 4.
• 2 - x⁶ > 5 es una inecuación polinómica de grado 6.

Las inecuaciones polinómicas lineales, es decir, con grado uno, son las más sencillas de resolver. En este apartado, vamos a ver cómo resolver las inecuaciones polinómicas de segundo grado para hallar así el conjunto solución que abarca.

Descubre aquí las inecuaciones con fracciones con ejercicios resueltos.

Existe una serie de pasos a seguir para resolver una inecuación polinómica y son los siguientes:

• Paso 1: el primer paso que debemos realizar es agrupar todos los términos de un lado de la desigualdad e igualar a cero.
• Paso 2: el segundo paso es descomponer el polinomio en factores primos, es decir buscar la forma de factorizar. Se puede utilizar para ello los métodos conocidos como trinomios, Ruffini, resolvente, factor común, etc.
• Paso 3: una vez hallados los factores, el tercer paso es igualar cada uno de ellos a cero para despejar la incógnita y así encontrar cuáles son los “puntos críticos”. Esto quiere decir, aquellos puntos donde cambian los signos.
• Paso 4: en el paso cuatro debemos ubicar en la recta numérica los puntos críticos hallados anteriormente y establecer cuáles son los intervalos que vamos a analizar. Una vez hecho esto, sustituimos en la inecuación un número dentro de cada intervalo y obtenemos el signo que tendremos como resultado en cada uno, es decir, si el resultado será positivo o negativo.
• Paso 5: En este último paso elegimos según corresponda, el o los intervalos que cumplen con la desigualdad original. Si la desigualdad es mayor o mayor/igual, entonces debo elegir los intervalos que son positivos. Si la desigualdad es menor o menor/igual, entonces debo elegir los intervalos que son negativos.(Recordemos que cuando los símbolos de desigualdad son mayo/igual o menor/igual, esto significa que los números que cortan los intervalos están incluidos).

Vamos a dejarte un ejemplo de una inecuación polinómica de grado 2 para que entiendas mejor esta funcionlidad.

x² + 2x < 3

Para hacerlo, seguimos los pasos que mencionamos anteriormente.

Como primer paso, agrupamos los términos e igualamos a cero.

x² + 2x - 3 < 0

El segundo paso es descomponer el polinomio, en este caso la mejor forma es realizando la resolvente cuadrática.

• x1,x2 =( -2 +- raíz cuadrada (2² - 4 . 1 . (-3)))/ 2.1
• x1,x2 = (-2+-4)/2
• x1 = (-2 - 4) / 2 = -6 / 2 = -3
• x2 = (-2 + 4) / 2 = 2 / 2 = 1
• Por lo tanto, las raíces son -3 y 1.

Escribimos el polinomio factorizado en la inecuación:

(x - 1) . (x + 3) < 0

Para el tercer paso, debemos igualar cada factor a cero.

• x - 1 = 0
• x = 1* primer punto crítico
• x + 3 = 0
• x = -3 * segundo punto crítico

El cuarto paso es evaluar los intervalos. En este caso los intervalos son:

• En el intervalo (-∞, -3), cuando reemplazamos el resultado es positivo.
• En el intervalo (-3, 1), cuando reemplazamos el resultado es negativo.
• En el intervalo (1, +∞), cuando reemplazamos el resultado es positivo.

Quinto y último paso, debemos analizar los signos de los intervalos y elegir cuál es el que corresponde. En este caso, como la desigualdad del polinomio es < a cero, debemos elegir el intervalo cuyo resultado sea negativo, por lo tanto el intervalo que cumple con el objetivo es (-3, 1).

La solución es S = (-3, 1)

En el caso en que el signo desigual hubiera sido menor o igual, el conjunto solución se escribe con corchetes.

Resolver la inecuación polinómica siguiente:

x² > 4x + 5

Solución

Seguimos los pasos para resolverla.

Agrupar e igualar a cero.

x² - 4x - 5 > 0

Factorizar el polinomio. Utilizamos nuevamente la resolvente cuadrática para ello ya que es un polinomio de grado 2.

x1 = (4 + 6) / 2 = 10 / 2 = 5

x2 =(4 - 6) / 2 = -2 / 2 = -1

La inecuación factorizada queda como:

(x - 5) . (x + 1) > 0

Buscar los puntos críticos igualando los factores a cero

x - 5 = 0

x = 5

x + 1 = 0

x = -1

Escribir los intervalos y buscar los resultados positivos o negativos.

El intervalo (-∞, -1), resulta positivo cuando reemplazamos en el polinomio.

El intervalo (-1, 5), resulta negativo cuando reemplazamos el polinomio.

El intervalo (5, +∞), resulta positivo cuando reemplazamos el polinomio.

Para el último paso, debemos elegir la solución que cumpla con la desigualdad. Como el polinomio debe ser mayor a cero, el resultado que debemos elegir son aquellos que son positivos. Por lo tanto el conjunto solución se escribe como:

S= (-∞, -1) U (5, +∞).

Si deseas leer más artículos parecidos a Inecuaciones polinómicas: ejercicios, te recomendamos que entres en nuestra categoría de Álgebra.