Teorema de Euclides: ejemplos

El teorema de Euclides demuestra una de las propiedades que tienen los triángulos rectángulos. En él se expresa que al trazar una línea que divide al triángulo en dos nuevos triángulos rectángulos, resulta que estos son semejantes entre sí y al mismo tiempo al triángulo rectángulo original.

Esto indica que existe una relación de proporcionalidad entre todos ellos. La relación geométrica que existe entre los triángulos en los cuales los catetos están relacionados con las proyecciones de la hipotenusa.

Dicho de otra forma, el teorema de Euclides propone que al trazar una recta desde el vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo hacia la hipotenusa, siendo la altura la que trazamos, se forman dos triángulos rectángulos nuevos que están relacionados proporcionalmente entre sí.

Tanto los triángulos como los lados de los tres triángulos serán proporcionales, por lo tanto los ángulos de los tres triángulos son congruentes, es decir iguales.

Euclides utiliza dos teoremas para explicar o demostrar las proporciones que existen entre los triángulos rectángulos, tanto original como los dos nuevos. Los teoremas que utiliza son:

• Teorema de la altura
• Teorema de los catetos

Veamos cada uno de ellos por separado

Teorema de la altura

En el teorema de la altura, Euclides establece que en cualquier triángulo rectángulo, la altura que trazamos desde el vértice del ángulo recto hacia la hipotenusa, es la medida proporcional geométrica con respecto a las proyecciones de los catetos que determina la hipotenusa.

Imaginemos un triángulo rectángulo cuya altura denominamos h, cateto n e hipotenusa a. Luego realizamos la proyección y obtenemos un triángulo rectángulo de altura h, coincidente con el otro triángulo, hipotenusa b y cateto m. Entonces el teorema dice que el cuadrado de la hipotenusa es igual al producto entre las proyecciones de los catetos.

Su fórmula se escribe: h² = m . n

Teorema de los catetos

En el teorema de los catetos, Euclides establece que todo triángulo rectángulo, tiene la medida de cada cateto igual a la medida proporcional geométrica entre la hipotenusa y la proyección de cada cateto. Imaginemos un triángulo rectángulo cuya altura denominamos h, cateto n e hipotenusa a. Luego realizamos la proyección y obtenemos un triángulo rectángulo de altura h, coincidente con el otro triángulo, hipotenusa b y cateto m.

En este caso, también nombramos a la medida de los dos catetos m y n juntos, y decimos que se llama c. Entonces, la fórmula es:

• b² = c.m
• a² = c. n

Veamos un ejemplo de cómo utilizar el teorema de Euclides para resolver el tamaño del lado de un triángulo rectángulo cualquiera, a partir de la medida de uno de los triángulos rectángulos que trazamos según el teorema.

Tenemos un triángulo ABC, cuyo mayor lado es el lado BC. Queremos averiguar la longitud de todos los lados, sabiendo que, si trazamos la altura desde el vértice A, hasta el lado BC, denominando D a este punto, las medidas de los lados de este nuevo triángulo son AB de 30 cm y BD de 18 cm.

Con estos datos, podemos utilizar el teorema de los catetos de Euclides para averiguar cuál es el tamaño del lado BC. Entonces:

AB² = BD . BC

Reemplazamos los valores conocidos

30² = 18 . BC

900 / 18 = BC

50 = BC

Por lo tanto, el lado BC mide 50 cm.

Ahora bien, a partir de esto, podemos calcular el lado faltante del triángulo original. Sabemos que BC mide 50 cm y que BD mide 18 cm, entonces realizamos la diferencia y calculamos CD.

CD = 50 - 18

CD = 32

El lado proyectado CD mide 32 cm.

Utilizamos nuevamente el teorema de los catetos de Euclides y averiguamos la longitud del lado AC.

AC² = CD . BC

Reemplazamos los valores conocidos

AC² = 32 . 50

AC² = 1600

AC = raíz cuadrada (1600)

AC = 40

El lado AC mide 40 cm.

Usando el teorema de Euclides de los catetos averiguamos los valores de los lados faltantes, entonces el triángulo original tiene lados de AB = 30 cm, AC = 40 cm y BC = 50 cm.

Para finalizar, queremos calcular la altura de este triángulo, y para ellos se utiliza el teorema de la altura de Euclides.

AD² = BD . CD

AD² = 18 . 32

AD² = 576

AD = raíz cuadrada (576)

AD = 24

La altura del triángulo es 24 cm.

Veamos otro ejemplo. Tenemos un triángulo rectángulo ABC, al que le trazamos la altura desde el vértice C hasta el lado AB, cuyo punto denominamos D. El lado proyectado AD mide 12 cm y el lado proyectado BD mide 4 cm. ¿Cuál es la medida del lado CB?.

Resolución

Sabiendo la medida de las proyecciones AD y BD podemos decir que AB mide 12 + 4 = 16 cm. Utilizamos entonces el teorema de los catetos para averiguar el lado CB.

CB² = BD . AB

CB² = 4 . 16

CB² = 64

CB = raíz cuadrada (64)

CB = 8

Por lo tanto, el lado CB mide 8 cm.

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