Cómo sacar la hipotenusa de un triángulo

Para poder calcular la hipotenusa de un triángulo es importante conocer qué es el Teorema de Pitágoras. Pitágoras fue un matemático muy importante de su época, el cual propuso el teorema que permite calcular los lados de un triángulo rectángulo. Es decir, el teorema expresa la relación que existe entre los lados de un triángulo rectángulo.

El teorema dice lo siguiente:

“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”

La fórmula es h² = a² + b²

• Siendo h: hipotenusa
• a y b : catetos

¿Qué son los catetos y qué es la hipotenusa?

Cuando utilizamos el teorema de Pitágoras, debemos tener en cuenta que únicamente es válido en triángulos rectángulos, es decir debemos contar con un triángulo en el cual uno de sus ángulos interiores sea recto.

• La hipotenusa es aquel lado que se encuentra opuesto al ángulo recto. Es decir, que mirando el ángulo recto, aquel lado que llamaremos hipotenusa será el que se encuentre contrario al mismo. La hipotenusa además, es el lado con mayor longitud de cualquier triángulo rectángulo.
• Los catetos serán los lados restantes del triángulo. Los mismos son los lados que forman el ángulo recto. De esta manera es fácil encontrar cuáles son los catetos y cuál es la hipotenusa.

Para sacar la hipotenusa de un triángulo tenemos que utilizar la fórmula de Pitágoras. Y, para ello, debemos conocer dos de los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, tenemos dos valores y nos falta conocer el tercero, por lo que utilizamos la relación establecida por Pitágoras para encontrar el valor del tercero.

Ejemplo 1

Veamos un ejemplo para comprender mejor.

Tenemos un triángulo rectángulo con el cateto a=8 y el cateto b=6. Y queremos calcular el valor de la hipotenusa.

Entonces, utilizamos la fórmula de Pitágoras y resolvemos la ecuación.

h² = a² + b²

Reemplazamos los valores que conocemos en la fórmula y calculamos.

• h² = 8² + 6²
• h² = 64 + 36
• h² = 100

Cómo la operación contraria de la potencia es la raíz, aplicamos la raíz cuadrada de 100 para encontrar el valor de h.

• h = raíz cuadrada(100)
• h = 10
• Como resultado, obtenemos que h = 10.

Ejemplo 2

Ahora vamos a calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo con el cateto a=4 y el cateto b=3.

Utilizamos la fórmula de Pitágoras y resolvemos la ecuación propuesta.

h² = a² + b²

Reemplazamos los valores que conocemos en la fórmula y calculamos.

• h² = 4² + 3²
• h² = 16 + 9
• h² = 25

Cómo la operación contraria de la potencia es la raíz, aplicamos la raíz cuadrada de 25 para encontrar el valor de h.

• h = raíz cuadrada(25)
• h = 5
• Como resultado, obtenemos que h = 5.

Cuando queremos calcular la hipotenusa de un triángulo escaleno, también debemos utilizar el teorema de Pitágoras que mencionamos anteriormente y aplicar la fórmula para hallar la incógnita, en este caso h.

Sabiendo que tenemos un triángulo rectángulo escaleno de catetos a y b, despejamos h de la fórmula y entonces así, obtenemos el resultado de la hipotenusa. Entonces:

h² + a² + b²

Despejamos h: h= raíz cuadrada(a² + b²)

Ejemplo 1

Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 13 cm y 15 cm.

Como podemos ver, en este ejemplo tenemos un triángulo rectángulo que es escaleno, ya que los catetos NO son iguales, y debemos hallar el valor faltante que es la hipotenusa. Para resolver este ejercicio, utilizamos la fórmula que despejamos antes, reemplazamos los valores y buscamos el resultado. Por lo tanto:

• h= raíz cuadrada(a² + b²)
• h= raíz cuadrada(13² + 15²)
• h= raíz cuadrada(169 + 225)
• h= raíz cuadrada(394)
• h=19,84

La hipotenusa de un triángulo rectángulo escaleno de catetos 13 cm y 15 cm es igual a 19,84 cm.

Ejemplo 2

Calcular el lado faltante de un triángulo rectángulo donde los lados que forman el ángulo recto miden 8 cm y 12 cm.

En este ejemplo, menciona que los lados que forman el ángulo recto miden 8 cm y 12 cm, que son los catetos, y el lado faltante sería la hipotenusa. Entonces utilizamos la fórmula que despejamos del teorema de Pitágoras para resolverlo.

• h= raíz cuadrada(a² + b²)
• h= raíz cuadrada(8² + 12²)
• h= raíz cuadrada(64 + 144)
• h= raíz cuadrada(208)
• h=14,42

La hipotenusa en este ejemplo mide 14,42 cm.

Debemos tener en cuenta, a la hora de obtener un resultado, que si nos encontramos con una medida que es más pequeña que la que corresponde a los lados o catetos, es incorrecto. Es decir, hemos realizado mal algún cálculo, porque la hipotenusa siempre tiene mayor longitud que los catetos.

Ahora que ya sabemos cómo sacar la hipotenusa de un triángulo vamos a conocer mejor ante qué figura geométrica nos encontramos. Un triángulo es una figura geométrica básica que posee tres lados, tres ángulos y tres vértices. Los tres lados rectos se encuentran en contacto a través de los puntos que denominamos vértices, los cuales forman los ángulos interiores de los mismos.

Existen distintos tipos de triángulos y su clasificación depende por un lado de los lados y por otro de los ángulos interiores que poseen.

Clasificación según sus lados.

• Equilátero: sus tres lados son de la misma longitud.
• Isósceles: dos de sus lados tienen la misma longitud mientras que el tercero no.
• Escaleno: sus tres lados tienen diferentes longitudes.

Clasificación según sus ángulos.

• Acutángulo: sus tres ángulos interiores son menores a 90° sexagesimales.
• Rectángulo: uno de sus ángulos interiores mide exactamente 90° sexagesimales.
• Obtusángulo: uno de sus ángulos interiores es mayor a 90° sexagesimales.

Para seguir esta lección sobre cómo sacar la hipotenusa de un triángulo, vamos a dejarte tres ejercicios con soluciones que podrás hacer en casa:

1. Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden a=6 y b=7.
2. Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden a=8 y b=4.
3. Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden a=9 y b=10.

Soluciones

1- Utilizamos la fórmula de Pitágoras y resolvemos la ecuación propuesta.

h² = a² + b²

Reemplazamos los valores que conocemos en la fórmula y calculamos.

h² = 6² + 7²

h² = 36 + 49

h² = 85

Cómo la operación contraria de la potencia es la raíz, aplicamos la raíz cuadrada de 85 para encontrar el valor de h.

h = raíz cuadrada(85)

h = 9,22

Como resultado, obtenemos que h = 9,22.

2- Utilizamos la fórmula de Pitágoras y resolvemos la ecuación propuesta.

h² = a² + b²

Reemplazamos los valores que conocemos en la fórmula y calculamos.

h² = 8² + 4²

h² = 64 + 16

h² = 80

Cómo la operación contraria de la potencia es la raíz, aplicamos la raíz cuadrada de 80 para encontrar el valor de h.

h = raíz cuadrada(80)

h = 8,94

Como resultado, obtenemos que h = 8,94.

3- Utilizamos la fórmula de Pitágoras y resolvemos la ecuación propuesta.

h² = a² + b²

Reemplazamos los valores que conocemos en la fórmula y calculamos.

h² = 9² + 10²

h² = 81 + 100

h² = 181

Cómo la operación contraria de la potencia es la raíz, aplicamos la raíz cuadrada de 181 para encontrar el valor de h.

h = raíz cuadrada(181)

h = 13,45

Como resultado, obtenemos que h = 13,45.

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Responder verdadero o falso según corresponda y justificar ambas respuestas.

1. Un triángulo rectángulo escaleno tiene sus dos catetos iguales
2. La hipotenusa de un triángulo rectángulo escaleno siempre tiene mayor longitud que los catetos
3. Para calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo escaleno utilizamos el Teorema de Pitágoras

Soluciones

1. FALSO. Un triángulo rectángulo isósceles tiene sus dos catetos iguales, un escaleno tiene los dos catetos diferentes.
2. VERDADERO. La hipotenusa de un triángulo rectángulo en general, siempre tiene mayor longitud que los catetos.
3. VERDADERO. Utilizamos el teorema de Pitágoras para despejar la hipotenusa, y así averiguar su valor.

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