Ángulo entre dos vectores

Para calcular el ángulo entre dos vectores, primero debemos recordar algunos conceptos clave, como el de vector y el ángulo entre ellos. Ahora bien, ¿qué es un vector?

Los vectores son segmentos de recta que poseen módulo, dirección y sentido, donde el módulo será su medida o longitud. El sentido indica la orientación que toma dentro del plano, ya sea bidimensional o tridimensional, y la dirección identifica la recta sobre la que se sitúa.

Para representar un vector se utilizan las coordenadas cartesianas: (x,y) si es bidimensional o (x,y,z) si es tridimensional.

Características de los vectores

• Módulo: longitud o medida que posee un vector dentro del plano, es decir, su magnitud expresada en números.
• Dirección: recta sobre la que se traza o extiende el vector.
• Sentido: indica geométricamente hacia dónde está dirigido el vector, es decir, hacia dónde apunta la flecha.
• Punto de aplicación: origen del vector, es decir, el punto de inicio gráfico.

Ahora sí, cuando hablamos de ángulo entre dos vectores, nos referimos al ángulo que forman cuando se colocan con el mismo punto de aplicación. Si pensamos en esto, podemos graficarlo como dos segmentos de flecha que se unen en un origen y que forman entre sí una apertura que llamamos ángulo. Cuando medimos el ángulo entre dos vectores, podemos pensar que lo que necesitamos medir es la separación que existe entre ellos. Estos se pueden medir tanto en grados sexagesimales como en radianes. Por convención, se toma el ángulo menor entre ambos, que puede variar de 0° a 180°.

Para calcular el ángulo entre dos vectores se utiliza la fórmula del producto escalar. En este caso utilizaremos dos vectores bidimensionales llamados v=(v₁,v₂) y u=(u₁,u₂).

v · u = ‖v‖ · ‖u‖ · cos θ

Como queremos calcular el ángulo, despejamos la ecuación para obtenerlo:

cos θ = (v · u)/(‖v‖ · ‖u‖)

Luego realizas la función inversa del coseno, que es el arcocoseno, y por lo tanto la fórmula para calcular el ángulo entre dos vectores es:

θ = arccos((v · u)/(‖v‖ · ‖u‖))

Para aplicar esta fórmula, los dos vectores deben ser distintos del vector nulo, ya que sus módulos aparecen en el denominador. Si trabajas con sus coordenadas, el producto escalar se calcula multiplicando las componentes correspondientes y sumando los resultados.

Cuando realizamos el producto escalar podemos encontrarnos con las siguientes situaciones:

1. Si el resultado es positivo, entonces el ángulo será agudo. Esto no significa necesariamente que los vectores sean paralelos.
2. Si el resultado es cero, entonces los vectores serán perpendiculares y formarán un ángulo recto.
3. Si el resultado es negativo, entonces el ángulo será obtuso, salvo cuando los vectores tengan sentidos opuestos sobre la misma recta, en cuyo caso formarán 180°.

Veamos un ejemplo para calcular el ángulo entre dos vectores v=(1,2) y u=(-2,3). Utilizaremos la fórmula que mencionamos anteriormente:

θ = arccos((v · u)/(‖v‖ · ‖u‖))

Primero realizamos el producto escalar:

v · u = v₁ · u₁ + v₂ · u₂ = 1 · (-2) + 2 · 3 = -2 + 6 = 4

Luego calculamos los módulos de los vectores:

• ‖v‖ = √(1²+2²) = √(1+4) = √5
• ‖u‖ = √((-2)²+3²) = √(4+9) = √13

Ahora sí, utilizamos la fórmula y la reemplazamos por los valores que tenemos para hallar el ángulo entre ellos.

θ = arccos(4/(√5 · √13))

θ ≈ 60°

El resultado se redondea al grado más cercano; si necesitas mayor precisión, puedes conservar los decimales del ángulo.

Cuando tenemos dos puntos A=(x₁,y₁) y B=(x₂,y₂) del plano cartesiano, podemos hallar el ángulo de inclinación de la recta que se forma buscando primero su pendiente, es decir, su inclinación.

Para ello, utilizamos la fórmula de la pendiente de una recta, denotada con la letra m:

m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

Luego, como sabemos que la pendiente de una recta también puede calcularse con la fórmula de la tangente del ángulo, la utilizaremos para despejar el valor del ángulo, ya que:

m = tan θ

Entonces, tenemos dos puntos A=(2,-1) y B=(4,3) y utilizamos la fórmula para hallar la pendiente:

m = (3-(-1))/(4-2) = (3+1)/2 = 4/2 = 2

Ahora bien, utilizando la fórmula de la tangente del ángulo, despejamos con el arcotangente y hallamos el ángulo:

• m = tan θ
• 2 = tan θ
• θ = arctan(2)
• θ ≈ 63°

Si los dos puntos tienen la misma coordenada x, la recta es vertical, su pendiente no está definida y su ángulo de inclinación es 90°. Cuando la pendiente es negativa, se suma 180° al valor negativo del arcotangente para expresar la inclinación entre 0° y 180°.

Los tipos de ángulos que pueden formarse entre dos vectores dependen del producto escalar entre ellos. Esto quiere decir que el signo que tenga el resultado de este producto determinará qué ángulo se genera y qué forma tendrá.

• Producto escalar positivo: cuando el producto escalar es positivo, podemos saber también que el coseno del ángulo será positivo y, por lo tanto, el ángulo que se formará será agudo. En otras palabras, el ángulo formado será menor de 90° sexagesimales.
• Producto escalar igual a cero: cuando el producto escalar entre los dos vectores es igual a cero, podemos deducir que el coseno del ángulo que forman será cero y, por lo tanto, el ángulo formado será recto, es decir, medirá 90° sexagesimales. Esto nos indica que los vectores son perpendiculares entre sí.
• Producto escalar negativo: cuando el producto escalar entre dos vectores es negativo, quiere decir que el coseno será negativo y, por lo tanto, el ángulo que se forma entre ellos será obtuso. Esto quiere decir que medirá más de 90° y menos de 180° sexagesimales, o bien 180° si apuntan en sentidos opuestos sobre la misma recta.

Si uno de los vectores es el vector nulo, no se puede definir el ángulo mediante esta fórmula, ya que su módulo es cero. Aquí te descubrimos cuáles son los tipos de ángulos que existen.

Aquí te dejamos ejercicios de ángulos entre dos vectores y soluciones para que puedas practicar en casa. Antes de consultar cada resultado, intenta aplicar la fórmula por tu cuenta:

1. Hallar el ángulo entre dos vectores u=(4,5) y v=(2,-1)
2. Hallar el ángulo entre los puntos A=(-2,-4) y B=(4,2)

Soluciones

1- Utilizaremos la fórmula:

θ = arccos((v · u)/(‖v‖ · ‖u‖))

Realizamos el producto escalar y calculamos los módulos de los vectores.

v · u = v₁ · u₁ + v₂ · u₂ = 2 · 4 + (-1) · 5 = 8 - 5 = 3

‖v‖ = √(2²+(-1)²) = √(4+1) = √5

‖u‖ = √(4²+5²) = √(16+25) = √41

θ = arccos(3/(√5 · √41))

θ ≈ 78°

2- Utilizamos la fórmula de la pendiente entre dos puntos:

m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) = (2-(-4))/(4-(-2)) = (2+4)/(4+2) = 6/6 = 1

Ahora, usamos la otra fórmula:

m = tan θ

1 = tan θ

θ = arctan(1)

θ = 45°

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