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Cómo calcular una matriz inversa

Cómo calcular una matriz inversa

Nos alegra poder traer una nueva lección desde unProfesor en la que vamos a ver cómo calcular una matriz inversa. Para ello, iniciaremos la lección aclarando conceptos como por ejemplo qué es una matriz y qué significa que sea inversa. Seguidamente, proporcionaremos la fórmula para calcular la matriz inversa y veremos un ejemplo. Por último, plantearemos un ejercicio y su solución, para que podáis verificar que habéis comprendido lo explicado a lo largo del texto.

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Índice
  1. ¿Qué es una matriz inversa?
  2. Calcular una matriz inversa: fórmula
  3. Propiedades de la matriz inversa
  4. Ejercicios de calcular una matriz inversa

¿Qué es una matriz inversa?

Una matriz es un conjunto de números o expresiones, dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Se expresan dentro de paréntesis y en el interior encontramos números, mayoritariamente.

Cada número que existe en el interior de la matriz, se puede expresar y denominar según su posición dentro de la matriz, de la siguiente forma:

Xij

  • “i” como el número de la fila en la que se encuentra el número
  • “j” como el número de la columna que se encuentra el número.

No obstante, la matriz inversa es la única matriz que al multiplicarla por la original no invertida, obtenemos la matriz identidad. Además, no siempre existe, ya que es necesario que el determinante de la matriz sea distinto de cero.

Calcular una matriz inversa: fórmula

Para calcular la matriz inversa de una matriz, tenemos que seguir la fórmula que adjuntamos como imagen.

En esta fórmula, vemos que hay una fracción en la que el numerador es la transpuesta de la adjunta de la matriz, mientras que el denominador es el determinante de la matriz.

Ejemplo

Como es una fórmula bastante abstracta, es mejor si lo vemos numéricamente, así que vamos a verlo con un ejemplo:

(2 -1 4 3 )

Calculamos el determinante, porque si es cero, no podremos hacer la inversa. Es por ese motivo que lo más inteligente es calcular el determinante en primer lugar, porque si es cero ya no hará falta que perdamos el tiempo en calcular la inversa de la matriz, porque no va a existir. Para ello, se multiplica la diagonal que empieza con el primer número, es decir, 2 x 3 = 6. A continuación, se multiplica la otra diagonal: - 1 x 4 = - 4. Ahora se resta lo que nos ha dado la primera, menos la segunda: 6 – (-4) = 6 + 4 = 10.

Calculamos la adjunta de la matriz, que simplemente es cambiar los números de la primera diagonal de sitio y cambiar el signo a los de la segunda diagonal, así:

(3 1 -4 2 )

Aplicamos la fórmula:

(3 1 -4 2 ) / 10 = (0,3 0,1 -0,4 0,2 ) Esta es nuestra matriz inversa.

Cómo calcular una matriz inversa - Calcular una matriz inversa: fórmula

Propiedades de la matriz inversa

Las propiedades de la matriz inversa más destacables son:

  • La matriz inversa de una matriz cualquiera se representa elevando esa matriz a -1, por ejemplo, si la matriz es A, su inversa será A-1.
  • Únicamente encontraremos la matriz inversa en las matrices cuadradas que tengan un determinante distinto de cero.
  • La inversa de la multiplicación de dos matrices es la multiplicación de las inversas de cada una de ellas cambiando el orden.
Cómo calcular una matriz inversa - Propiedades de la matriz inversa

Ejercicios de calcular una matriz inversa

Para verificar si has comprendido lo que se ha explicado en la lección de hoy, te recomendamos que realices el siguiente ejercicio, del que posteriormente te proporcionaremos la solución:

Calcula la matriz inversa de (5 2 2 1 )

Soluciones

A continuación, puedes comprobar si has realizado correctamente la actividad planteada en el apartado anterior con la solución que vas a encontrar abajo:

(5 2 2 1 )

Calculamos el determinante, multiplicando la diagonal que empieza con el primer número, es decir, 5 x 1 = 5. A continuación, se multiplica la otra diagonal: 2 x 2 = 4. Ahora se resta lo que nos ha dado la primera, menos la segunda: 5 – 4 = 1.

Calculamos la adjunta de la matriz, que simplemente es cambiar los números de la primera diagonal de sitio y cambiar el signo a los de la segunda diagonal, así:

(1 -2 -2 5 )

Aplicamos la fórmula:

1 -2 -2 5 / 1 = 1 -2 -2 5 Esta es nuestra matriz inversa.

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19 comentarios
Su valoración:
Guillermo Peña Calderon
Buenas noches profesora solamente quisiera saber como en el principio del video que usted hizo sale que tiene 1 de 0 es -1 y 0 de 1 sale un 1 positivo quisiera que me explique porque es aquello. Por favor quisiera que explique sus clases un poco mas lento porque usted lo hace muy rapido.
JPablo
Cómo me aseguro que una matriz tiene su matriz inversa ?
edwin rojas
gracias por tus videos me han servido de mucho, disculpa como hago para saber cuando la matriz A es no invertible, como se que no es invertible.
Jocelyn
Hola Como hago para comprobar si el resultado de la matriz inversa encontrada esta correcta
Eliase Arevalo Solsol
Sólo quiero agradecer las clases, muy claras y por favor sigue así explicando a detalle me sirvieron mucho. Gracias.
José COLLAO ARCE
Le Agradezco su bondad de decirme propiedades del producto de la matriz traspuesta por favor?
Stefan
La felicito profesora, recientemente encontré el canal de unprofesor, y con relación a sus vídeos realiza una excelente explicación las cuales me han sido muy sencillas de entender Tengo un ejercicio de una matriz 2x2 con números imaginarios y me piden sacar la matriz inversa, le agradecería mucho si tuviera la posibilidad de explicarme ¿cómo se resuelve este tipo de matrices? |-2+50i 21+5i | | -16+24i 48+13i | Siguiendo su vídeo, solo he podido llegar hasta el siguiente paso |-2+50i 21+5i | 1 0| | -16+24i 48+13i | 0 1| Le agradecer su pronta respuesta
Constanza MAtamala
Hola Podrían decirme propiedades del producto de la matriz traspuesta por favor? Si tengo B*(A^T)=Identidad ¿es lo mismo que B^T *A?
Stiven
Hola buenas noches tengo una duda respecto al tema de matrices, e estado revisando algunos ejercicios resueltos y practicando en el libro pero e encontrado un ejercicio que me pide hallar la matriz inversa la cual me piden hallar la inversa de la matriz "valga la redundancia", pero en el libro lo que hace es multiplicar la matriz por una matriz que esta conformada por x y z w y lo iguala la matriz identidad de 2x2 me podria ayudar y orientar con maneras mas practicas de resolver este tipo de ejercicios por favor
Rafael
por que se resta la matriz inversa y una manera mas facil de hallar la matriz inversa
Alba
Hola!! Una pregunta, suelen darte la matriz inversa en algún ejercicio de "ecuaciones matriciales con inversas"
Diana preciado
queria saber sobre el metodo de gauss jordan como hacer algunas deduciones para elaborar un programa general en matlat
rogelio reyes
maestra hermosa podria decirme si la inversa de gauss tiene comprobacion me podria pasar su face tengo muchas preguntas ojala pueda se me hace mas facil x face gracias
Marving
disculpe profesora si tengo una matriz de 5x5 y me piden calcular su inversa cuál sería la forma más rápida de encontrarla que método?
andres
hola profesora claudia un gusto de poder contactarme con usted, mi pregunta es la siguiente ¿existe una manera de saber que fila se debe sumar o restar con otra fila para sea mas rápido al resolver el ejercicio? muchas gracias.
Iliana Arias
¿Porque en la solución aparece un 7 si en realidad es un 1?,Ya sea de la forma en que esta explicada en la solución o al revés.
Javier
Me uno a la propuesta de que haga otro ejemplo con diferentes números. Claudia si un día te pasas por Granada y te apetecen unas fantas de limón, mándame un privi.
Angelica Mariel Polanco Mota
bendiciones. quise pasar a agradecerte entendí todo a la perfeccion
Fredis Hernandez
Buenas Noches, es un placer señorita Claudia, gracias a sus vídeos he aprendido mucho,me preguntaba sí podría hacer un nuevo vídeo de matriz inversa pero de distintos números , le agradezco por tomarse el tiempo y explicar matemáticas . De antemano muchas gracias
Angelica Polanco
sii tambn hiba a pedirle que lo pusiera con numeros diferentes que no sean solo 0 y 1
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