Matrices

Suma y resta de matrices

Suma y resta de matrices

En esta lección de unProfesor vamos a a explicar la suma y resta de matrices. Recordemos que la matriz es un conjunto de números o expresiones, dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas. Para recordar cómo se expresan puedes mirar el vídeo anterior, el concepto de matriz.

La norma para sumar y restar matrices es que el número de filas y de columnas de las matrices que queremos sumar, tiene que ser el número. Si no, no pueden sumarse. Las matrices son conjuntos de números, letras o símbolos que se distribuyen de forma rectangular en columnas y filas, y con ellas se pueden realizar diferentes operaciones matemáticas. En una nueva lección de unProfesor veremos la suma y resta de matrices, cuáles son las propiedades que tienen y algunos ejercicios.

También te puede interesar: Cómo calcular una matriz inversa
Índice
  1. ¿Cómo se suman y se restan las matrices? Ejemplos y vídeo
  2. Qué es una matriz
  3. Propiedades de las matrices

¿Cómo se suman y se restan las matrices? Ejemplos y vídeo

Para sumar o restar matrices, se debe tener en cuenta que estas tengan el mismo orden, es decir, que sean del mismo tamaño. Deberán tener la misma cantidad de filas y columnas para poder realizar las operaciones, de lo contrario no será posible.

Entonces, para sumar dos o más matrices del mismo orden, se suman los elementos que corresponden a la misma posición y se obtiene el resultado en esa misma posición en la nueva matriz, es decir la matriz resultado.

Ejemplo de suma de matrices A + B

  • A= 4 2 y B = 3 7
  • 6 5 2 3

Las matrices tienen el mismo tamaño, ambas son 2x2, es decir tienen 2 filas y 2 columnas, por lo tanto la suma puede realizarse. Ahora bien, planteamos la suma A + B

  • A + B = 4 2 + 3 7 = 4+3 2+7 = 7 9
  • 6 5 2 3 6+2 5+3 8 8
  • Entonces A + B = 7 9
  • 8 8

Ejemplo de resta de matrices C-D

Si por el contrario queremos restar matrices, debemos tener en cuenta que las matrices tienen que ser del mismo orden, tal y como lo hicimos con la suma, y luego restar cada uno de los elementos con el correspondiente a su ubicación en la otra u otras matrices, y el resultado ubicarlo en la nueva matriz en la posición que corresponde.

Veamos un ejemplo: Restamos C - D

  • C = 8 9 D = 6 8
  • 5 6 2 1
  • 7 8 4 2

Las matrices tienen el mismo tamaño, ambas son 3x2, es decir tienen 3 filas y 2 columnas, por lo tanto la resta si puede realizarse. Ahora, planteamos la resta C - D,

  • C - D = 8 9 - 6 8 = 8-6 9-8 = 2 1
  • 5 6 2 1 5-2 6-1 3 5
  • 7 8 4 2 7-4 8-2 3 6
  • Entonces C - D = 2 1
  • 3 5
  • 3 6

Qué es una matriz

Una matriz es un conjunto de números o letras o símbolos que se acomodan en filas y columnas de manera rectangular. Todos sus elementos se organizan de forma vertical y horizontal, y son muy útiles para explicar sistemas de ecuaciones lineales.

Para representar a las matrices se utiliza una letra mayúscula seguido de un número para las filas y luego un número para las columnas. Estos números representan la cantidad de horizontales y verticales que tiene. Por ejemplo, la matriz A de 3 filas y 2 columnas se dice que es una matriz de 3x2.

  • A = a b
  • c d
  • e f
Suma y resta de matrices - Qué es una matriz

Propiedades de las matrices

La suma y resta de matrices tienen propiedades que se utilizan para poder calcularlas.

Propiedad cerradura

Para sumar o restar matrices debemos tener en cuenta que tengan el mismo tamaño, es decir que dos o más matrices tengan la misma cantidad de filas y columnas para poder realizar las operaciones de suma y resta. Es decir, si queremos sumar o restar dos matrices de orden 2x3, debemos asegurarnos de que ambas sean de orden 2x3, de lo contrario NO es posible realizar estas operaciones.

Propiedad conmutativa de la suma

La propiedad conmutativa únicamente aplica sobre la operación de la suma, ya que si tenemos dos o más matrices del mismo tamaño, podremos aplicar la propiedad y sumar las matrices de cualquier forma, obteniendo así el mismo resultado. No sucede de la misma manera con la resta, en este caso no puede aplicarse esta propiedad, ya que si cambiamos el orden en que restamos las matrices, el resultado no será siempre el mismo. Veamos un ejemplo de ambas operaciones.

Siendo A = 2 5 y B = 5 4

  • 6 8 7 1
  • Podemos sumar A + B y B + A obteniendo el mismo resultado.
  • A + B = 2 5 + 5 4 = 2+5 5+4 = 7 9
  • 6 8 7 1 6+7 8+1 13 9
  • B + A = 5 4 + 2 5 = 5+2 4+5 = 7 9
  • 7 1 6 8 7+6 1+8 13 9

Por lo tanto, no importa el orden en que ubiquemos dos o más matrices con la suma, el resultado siempre será el mismo.

Por el contrario veamos un ejemplo de la resta de dos matrices:

Siendo C = 8 9 y D = 5 7

  • 4 5 6 9
  • Realizamos las restas C - D y D - C
  • C - D = 8 9 - 5 7 = 8-5 9-7 = 3 2
  • 4 5 6 9 4-6 5-9 -2 -4
  • D - C = 5 7 - 8 9 = 5-8 7-9 = -3 -2
  • 6 9 4 5 6-4 9-5 2 4

Por lo tanto, podemos asegurar que no se puede aplicar la propiedad conmutativa de la resta.

Propiedad asociativa de la suma

Si tenemos tres o más matrices que tienen el mismo tamaño, entonces podemos cambiar la asociación que hay entre ellas para la suma, y obtendremos así el mismo resultado. Tal y como lo vimos anteriormente, no aplica para la resta.

Veamos un ejemplo

Siendo A = 2 4 y B = 7 5 y C = 8 1

Las tres matrices son 1x2, tienen una fila y dos columnas, podemos realizar la operación de la suma.

  • (A + B) + C = A + (B + C)
  • (2 4 + 7 5) + 8 1 = 2 4 + (7 5 + 8 1)
  • (2+7 4+5) + 8 1 = 2 4 + (7+8 5+1)
  • (9 9) + 8 1 = 2 4 + (15 6)
  • 9+8 9+1 = 2+15 4+6
  • 17 10 = 17 10

Por lo tanto, el resultado es una nueva matriz 1x2 con los elementos 17 y 10.

Propiedad identidad

La propiedad identidad se utiliza para sumar cualquier matriz junto con una matriz cero del mismo orden. Recordemos que las matrices ceros son aquellas en la que todos sus elementos son ceros. Podemos utilizar esta propiedad en la suma de matrices. Siempre que sumemos la matriz cero a cualquier matriz, obtendremos como resultado esa misma matriz.

Veamos un ejemplo

Siendo A = 5 9 3 y O = 0 0 0

  • 4 1 6 0 0 0
  • Con dos matrices de orden 2x3 podemos aplicar la propiedad y realizar la operación suma. A + O = 5 9 3 + 0 0 0 = 5+0 9+0 3+0 = 5 9 3 4 1 6 0 0 0 4+0 1+0 6+0 4 1 6

Como resultado obtuvimos la matriz A.

Propiedad del inverso

La propiedad del inverso puede aplicarse a la suma de las matrices que poseen el mismo tamaño. El inverso de una matriz es la misma matriz pero con el signo opuesto en cada uno de sus elementos. Como resultado de esto, se obtiene siempre la matriz cero.

Veamos un ejemplo

  • Siendo A = 8 -9 y -A = -8 9
  • 5 -1 -5 1
  • A + (-A) = 8 -9 + -8 9 = 8 + -8 -9 + 9 = 0 0
  • 5 -1 -5 1 5 + -5 -1 + 1 0 0

Como resultado obtenemos la matriz cero.

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20 comentarios
Su valoración:
INSUFICIENTE
La explicación es buena. Aún así, con un par de ejercicios resueltos sobre la suma y la resta de matrices no es suficiente para poder aprobar para un examen, al menos para mí. Seguro que a alguien le sirve el sitio www.matricesydeterminantes.com donde encontré muchos más ejercicios resueltos de todo tipo de operaciones con matrices.
Su valoración:
salome
como asi determine A-B y B-A
y tambien dice determine C-D y D-C
Su valoración:
Juan
En el ejercicio resuelto menos cuatro menos menos 14 son 10 y no seis
Esmeralda
Estimada Profra. Cladia López, es le envío un cordial saludo y a la vez para felicitarla por manera de explicar cada ejercicio. Me gustaría saber si tiene alguna otra pagina aparte de esta para poder seguirla y ver sus vídeos ya que acabo de ingresar a la Ingeniería de software y creo necesitaré muchísimo de su ayuda. Le deseo una excelente noche.
Ester
Hola. Hi ha un error a les solucions de A-B. -4 -(-14) fan 10 i no 6!
hugo
puede ser sumadas dos matrices de dimensiones (m*n)y(p*q)
Georyarith
Quiero saber si las propiedades de suma es igual a la de resta?
ROSI MORALES
no se como restar con matrices
Antonio
Puedes dar alguna clase en vivo de un tema de matrices? saludos desde México
misael
cuales serian las propiedades validad para la resta de matrices?
Edgar
Hola, le saludo desde Guatemala ciudad, me gusta su clases y vídeos son muy claro y entendibles, gracias por el tiempo que le dedica, saludos cordiales.-
Ignacio Castellanos
Cuales son las propiedades de la resta de matrices?
fabrizzio
como puedo realizar la suma de matrices con la matriz (4x3) ???
Andrea Chavez
Profesora gracias por sus clases tengo una duda es que tengo que resolver una practica y no se por donde empezar el ejercicio es: A=(1 -3) Y B=(4 -1) (2 5) (2 6) DETERMINAR LA MATRIZ X SI (AxB)t + X=2(Bt+A)
Fran
Antes que nada decir que sois estupendos y que sois de gran ayuda, enhorabuena. Hola Claudia, en la resta al igual que Mimi comenta el a13 que equivale a: -4-(-14) sale 10, no se si sera un error al poner ustedes la solución, echarle un vistazo al a13 de la resta y gracias
Claudia López
Gracias Fran, sí efectivamente hay un error, a13 = 10.
Laura
Buenas tardes profesora!Bendiciones Tengo una duda se puede sumar matrices de diferentes numeros de filas o siempre tiene que tener el mismo numero de filas y columnas? Gracias....
Claudia López
Hola Laura, para sumar o restar matrices, si por ejemplo tienes una matriz A y una matriz B, tienes que ver que la A tenga las mismas filas que la matriz B y también que tengan el mismo número de columnas las dos. Es decir, la matriz A y B tienen que tener el mismo orden, el mismo número de columnas y el mismo número de filas. Si A es una matriz con 6 filas y 4 columnas, B tiene que ser igual, con 6 filas y 4 columnas, sino no puedes ni sumarlas ni restarlas.
Mimi
Gracias! Hice la resta pero en la 1era fila y 3era columna me salió 10 ¿?
Claudia López
Hola Mimi, vuelve a repetirlo, piensa que el elemento a13, es decir el de la primera fila y tercera columna, es 6 - 1 que es igual a 5. Gracias por tu visita.
Gabriela
Explicas genial me gustaría q subas vídeos de segundo de secundaria soy de Perú de matemáticas y comunicación ojalá q ayas leído mi mensaje y q lo tomes en cuenta ya q este año entro a segundo de secundaria entro el 9 de marzo al colé quisiera estar preparadas gracias
Pedro Sánchez Morales
Felicidades son exelentes . Como podre enterarme cuando suba nuevos vídeos .
Claudia López
Hola, muchas gracias, pues acostumbramos a subir vídeos entre cada 1-2 semanas, lo único que puedes hacer es ir entrando y mirar si hay nuevos vídeos.
Cristina Álvarez (Editor/a de unPROFESOR)
Hola Pedro. También puedes suscribirte a los vídeos de Matemáticas y así cada vez que subamos un nuevo vídeo lo verás. Para ello, ves a cualquier vídeo de Matemáticas y debajo del vídeo a la derecha verás un recuadro azul dónde te indica "suscríbete". Solo tienes que dejar tu email y recibirás una notificación cada vez que publiquemos nuevos vídeo. Muchas gracias.
Elvis
Excelente los videos, me ayudaron bastante a entender matrices, agradeceré que me envíen el video explicando los 3 últimos tipos de matrices que faltaban explicar, saludos desde Perú
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