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Números complejos conjugados - con ejemplos

 
Por Saray Espinosa. 7 junio 2021
Números complejos conjugados - con ejemplos

En esta nueva lección de unProfesor vamos a aprender qué son los números complejos conjugados con ejemplos para que puedas saber cómo podemos obtener el conjugado de números complejos o imaginarios. En primer lugar, veremos qué pasos debemos seguir para extraer el conjugado de un número complejo. Seguidamente, haremos lo mismo, pero en lugar de con un solo número imaginario, con operaciones de números imaginarios. En cada uno de estos apartados veremos ejemplos y, por último, podréis resolver un ejercicio y comprobar que lo habéis hecho bien con las soluciones que encontraréis al final.

Cómo obtener los números complejos conjugados - ejemplo

Para obtener el conjugado de un número complejo, pondremos ese número entre un par de barras verticales a cada lado (||...||) y será necesario seguir cuidadosamente los siguientes pasos:

  1. Ordenar el número: vamos a colocar siempre la parte real al principio y la imaginaria al final.
  2. Cambiar el signo del centro: vamos a ver qué signo tenemos entre la parte real y la parte imaginaria y lo vamos a cambiar, de manera que si teníamos un +, ahora tendremos un - y viceversa.

Ejemplos de operación con números complejos conjugados

Es importante destacar que los números complejos normalmente se representan mediante la letra Z, así que, por ejemplo, podríamos tener Z = 8 - 7i. En este caso, si nos pidieran calcular el conjugado, nos dirían ||8 - 7i|| y deberíamos seguir los pasos establecidos:

  1. Ordenamos: en este caso, ya tenemos la parte real al principio y la parte imaginaria al final, así que lo dejaríamos igual: Z = 8 - 7i.
  2. Cambiamos el signo del centro: 8 + 7i.

De este modo obtenemos el conjugado de Z que, en nuestro ejemplo, es 8 + 7i.

Veamos otro ejemplo de algo distinto. Si el número complejo que nos dan es Z = - 32i - 12, los pasos quedarán así:

  1. Ordenamos: en este ejemplo sí es necesario ordenar, pues la parte imaginaria está delante, así que lo cambiaremos a Z = - 12 - 32i.
  2. Ahora ya podemos cambiar el signo del centro. Como teníamos un menos, lo cambiaremos a un más: - 12 + 32i.

Conjugado de operaciones de números complejos - con ejemplos

Ya hemos visto que obtener números complejos conjugados es algo bastante sencillo, pues solo hay que seguir dos pasos. Ahora vamos a añadir una pequeña dificultad: en lugar de tener un solo número complejo, tendremos un par que se estarán sumando o restando. Los pasos en este caso, serían los siguientes:

  1. Colocar y agrupar la parte real por un lado y la parte imaginaria por el otro.
  2. Ordenar, tal y como hacíamos en el apartado anterior.
  3. Cambiar el signo, de igual modo.

Ejemplo 1

Veamos un ejemplo. Si nos piden que hagamos el conjugado de la suma entre Z1 = 4i + 5 y Z2 = - 7 - 3i:

  1. Vamos a colocar lo que nos están pidiendo, que es: (4i + 5) + (- 7 - 3i). Si agrupamos la parte real, nos queda + 5 - 7, que es igual a -2. Si agrupamos la parte imaginaria, nos queda 4i - 3i, que es igual a i.
  2. Ordenamos, escribiendo primero la parte real y después la parte imaginaria: - 2 + i.
  3. Cambiamos el signo: - 2 - i.

Ejemplo 2

Veamos un ejemplo en el que, en lugar de tener dos números complejos sumándose, los tenemos restándose. En este sentido, es muy importante que tengas claro cómo se suman o restan números positivos y negativos. Puedes echar un vistazo al artículo Qué son los números enteros. Así, si nos piden el conjugado de la resta entre Z1 = 2 - 3i y Z2 = 6 - 9i:

  1. Colocamos: (2 - 3i) - (6 - 9i). Siempre que tenemos un signo negativo delante de un paréntesis, debemos cambiar el signo de todo lo que hay dentro del paréntesis, de manera que nos quedará (2 - 3i) + (- 6 + 9i). Ahora ya podemos agrupar la parte real, que nos quedará 2 - 6, es decir, -4; y la parte imaginaria, que nos quedará - 3i + 9i, que nos queda 6i.
  2. Ordenamos: - 4 + 6i.
  3. Cambiamos el signo: - 4 - 6i.

Ejemplo 3

Si nos piden el conjugado de un número complejo y, después, que le restemos o sumemos otro número complejo, seguiremos los pasos para el primero y, posteriormente, agruparemos la parte real del resultado con la del segundo número complejo por un lado, y la parte imaginaria por otro. Lo veréis más claro con el siguiente ejemplo: obtén el conjugado de Z1 = 20i - 7 y, posteriormente, súmale el número complejo Z2 = 42 + 7i.

  1. Calculamos el conjugado de Z1, que nos daría - 7 - 20i.
  2. Le sumamos Z2: (- 7 - 20i) + (42 + 7i) = 35 - 13i.
Números complejos conjugados - con ejemplos - Conjugado de operaciones de números complejos - con ejemplos

Ejercicios de números complejos conjugados

Para terminar esta lección, vamos a dejarte 4 ejercicios de números complejos conjugados que te ayudarán a poner a prueba tus conocimientos. En el siguiente apartado encontrarás las soluciones del ejercicio para que compruebes tus resultados:

  1. Calcula el conjugado de 86i - 6
  2. Calcula el conjugado de la suma entre 67 + 7i y - 5 + 2i
  3. Calcula el conjugado de la resta entre 5i - 8 y 9i + 2.
  4. Calcula el conjugado de 12i - 3 y réstale 8 + 2i.

Solución del ejercicio anterior

  1. Solución: - 6 - 86i
  2. Solución: ||(67 + 7i) + (- 5 + 2i)|| = ||62 + 9i|| = 62 - 9i
  3. Solución: ||(5i - 8) - (9i + 2)|| = ||(5i - 8) + (-9i - 2)|| = ||-10 - 4i|| = - 10 + 4i
  4. Solución: ||12i - 3 || - (8 + 2i) = (-3 - 12i) - (8 + 2i) = (-3 - 12i) + (-8 - 2i) = -11 -14i

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