Operaciones con radicales

Cuando trabajamos con radicales, las operaciones que podemos utilizar son la suma, la resta, la división, la multiplicación y algunas otras que veremos en detalle.

Aquí te dejamos un vídeo de las operaciones con radicales. Antes de empezar, conviene identificar el índice y el radicando de cada expresión, ya que esos elementos determinan qué reglas se pueden aplicar:

Los radicales pueden sumarse únicamente si son semejantes, es decir, si poseen el mismo índice y radicando. Entonces, para sumar radicales, es obligatorio que estos tengan igual índice y radicando. Al tener radicales semejantes, se suman sus coeficientes. Si antes de sumar es posible simplificar alguno de los radicales, conviene hacerlo, pues así podrían convertirse en semejantes.

Si tenemos radicales con índice m y el radicando es h, entonces:

r x raíz m-ésima(h) + s x raíz m-ésima(h) + t x raíz m-ésima(h) = (r + s + t) x raíz m-ésima(h)

Veamos un ejemplo para comprender la suma de radicales:

5 x raíz cúbica(2) + 6 x raíz cúbica(2) + 1 x raíz cúbica(2) = (5 + 6 + 1) x raíz cúbica(2) = 12 x raíz cúbica(2)

De la misma forma que con la suma de radicales, sólo pueden restarse los radicales que sean semejantes, es decir, los que posean el mismo índice y radicando. En este caso, al tener radicales semejantes, se restan sus coeficientes. Si los radicales no son semejantes, no se pueden restar directamente, aunque a veces se pueden simplificar primero para encontrar términos semejantes.

Si tenemos radicales con índice m y el radicando es h, entonces:

r x raíz m-ésima(h) - s x raíz m-ésima(h) = (r - s) x raíz m-ésima(h)

Veamos un ejemplo de resta de radicales:

8 x raíz cuadrada(3) - 5 x raíz cuadrada (3) = (8 - 5) x raíz cuadrada(3) = 3 x raíz cuadrada(3)

Cuando multiplicamos radicales, existen dos opciones posibles: por un lado, podemos tener en ellos el mismo índice y, por otro, uno diferente. En este caso, el de la multiplicación, no importa si los radicales son semejantes, ya que podemos realizar igualmente la operación. Los casos son los siguientes. Al trabajar con raíces pares en los números reales, los radicandos deben cumplir las condiciones necesarias para que esas raíces existan.

Multiplicación de radicales con igual índice

Si multiplicamos radicales que poseen el mismo índice, debemos multiplicar los radicandos dejando el mismo índice que ya teníamos. Es decir, se utiliza el índice que poseen los radicales, pero se multiplican los radicandos. Si hay coeficientes fuera de las raíces, estos se multiplican entre sí por separado.

Por ejemplo, tenemos: raíz cúbica(7) x raíz cúbica(2) = raíz cúbica (7 x 2) = raíz cúbica(14)

Multiplicación de radicales con diferente índice

Para poder multiplicar radicales que poseen un índice diferente, lo primero que tenemos que hacer es reducir los índices a uno común entre ellos, para luego poder realizar la multiplicación.

Por ejemplo, tenemos: raíz cuadrada(3) x raíz cúbica(9) =

Para resolver esa multiplicación, primero debemos buscar un índice común, por lo tanto buscamos el mínimo común múltiplo, siendo m.c.m.(2,3) = 6. Por lo tanto, dividimos el índice común por los índices que tienen los radicales y multiplicamos cada resultado por el exponente que corresponde al radicando.

raíz cuadrada(3) x raíz cúbica(9) = raíz sexta (3*3*3) x raíz sexta(9*9) = raíz sexta(3*3*3*9*9) = 3

Cuando queremos dividir radicales, existen las dos mismas opciones que tenemos en la multiplicación: pueden tener el mismo o diferente índice y la operación puede realizarse sin problemas, siempre que el denominador no sea cero.

División con el mismo índice

Cuando tenemos radicales que poseen el mismo índice, debemos dividir los radicandos dejando el mismo índice que teníamos en los radicales. Si hay coeficientes fuera de las raíces, se dividen por separado.

Por ejemplo, tenemos: raíz cuarta(8) / raíz cuarta (2) = raíz cuarta (8/2) = raíz cuarta(4).

División con diferente índice

Cuando tenemos radicales que poseen diferente índice, debemos reducirlos a un índice común y luego realizar la división.

Por ejemplo, tenemos: raíz cúbica(4) / raíz cuadrada(2) = raíz sexta(4*4) / raíz sexta(2*2*2) = raíz sexta(16/8) = raíz sexta(2). Realizamos el m.c.m.(2,3) = 6, como lo hicimos anteriormente con la multiplicación. En el resultado, el radicando del denominador debe ser distinto de cero para que la división esté definida.

Cuando tenemos una raíz elevada a una potencia, lo que debemos hacer es elevar el radicando a esa misma potencia y conservar el índice de la raíz. Es decir, la potencia se aplica al radicando, no al índice. Esta propiedad permite expresar una potencia de un radical de forma equivalente y facilita algunos cálculos.

Por ejemplo, si tenemos: (raíz cúbica(2))^2 = raíz cúbica(2^2)

Es decir, la raíz cúbica de dos elevada al cuadrado es lo mismo que la raíz cúbica de dos al cuadrado. La diferencia está en que en la primera expresión toda la raíz está elevada al cuadrado, mientras que en la segunda sólo el radicando está elevado.

Cuando aplicamos la raíz de un radical obtenemos otro radical igual al que teníamos, pero con un índice que será el producto de los dos o más índices anteriores. Es decir, el radicando será el mismo, pero el índice de la raíz será el producto de los índices anteriores.

Por ejemplo, si tenemos: raíz cúbica(raíz cuadrada(2)) = raíz sexta(2)

Es decir, la raíz cúbica de la raíz cuadrada de dos es igual a la raíz sexta de dos. Para obtener el nuevo índice, multiplicamos los índices de las raíces anidadas: en este caso, 3 x 2 = 6.

Cuando hablamos de radicales en matemáticas, nos referimos a aquellas expresiones que poseen una raíz. Estas raíces pueden ser cuadradas, cúbicas, cuartas, etc. Las raíces son las operaciones opuestas a las potencias: la raíz cuadrada de un número x es igual a otro número que, al elevarlo al cuadrado, da como resultado x.

Si una raíz nos da como resultado un número que no pertenece al conjunto de los racionales, es decir, un número irracional, se deja expresada en forma de raíz para que su representación sea exacta. ¿Por qué decimos esto? Porque los números irracionales son aquellos que poseen infinitas cifras decimales que no se repiten periódicamente, por lo que no podemos escribirlos exactamente con cifras decimales. Entonces, se utilizan las raíces para expresarlos de forma correcta. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 puede mantenerse en forma de radical para expresar su valor exacto.

Por lo tanto, llamamos radicales a estas raíces, que tienen la forma raíz m-ésima(a), donde m, llamado índice, es un número entero positivo y a, llamado radicando, es un número real. En los números reales, si el índice es par, el radicando debe ser mayor o igual que cero.

Los elementos de un radical son los siguientes:

• Coeficiente: es el número que multiplica al radical, es decir, el factor numérico que lo acompaña. Por ejemplo, en 3 raíz cuadrada(5), el coeficiente es 3. Si no aparece escrito, se entiende que es 1.
• Índice: es el número que indica qué raíz estamos queriendo obtener. En el ejemplo anterior, 3 raíz cuadrada(5), el índice es 2, ya que la raíz es cuadrada. Cuando no se escribe el índice, se entiende que es 2.
• Radicando: es el número al cual se le aplica la raíz, es decir, el número que está “dentro” de la raíz. En el ejemplo 3 raíz cuadrada(5), el radicando es 5.

Las ecuaciones con radicales son aquellas donde las variables o incógnitas se encuentran dentro de una raíz, que puede ser cuadrada, cúbica o de otro índice. Como mencionamos anteriormente, la raíz es la operación inversa de la potencia; por lo tanto, cuando necesitemos aplicar la propiedad cancelativa para “cancelar” la raíz, debemos elevar ambos lados de la ecuación a una potencia igual al índice de la raíz.

Veamos un ejemplo:

• raíz cuadrada(x + 2) = 3. Elevamos ambos lados al cuadrado.
• (raíz cuadrada(x + 2))^2 = 3^2. Aplicamos la propiedad cancelativa entre la raíz y la potencia.
• x + 2 = 9. Ahora restamos 2 en ambos lados.
• x + 2 - 2 = 9 - 2. Aplicamos la propiedad cancelativa con el 2.
• x = 7

Es decir, para resolver una ecuación con un radical, primero debemos saber cuál es el índice de la raíz y luego elevar ambos lados a esa misma potencia. Una vez hecho esto, se resuelve la ecuación de forma normal. Conviene comprobar la solución en la ecuación original, ya que al elevar ambos lados a una potencia pueden aparecer soluciones que no la satisfacen.

Terminamos esta lección de operaciones con radicales con ejercicios resueltos para que puedas practicar en casa:

Realiza los siguientes ejercicios:

1. raíz cúbica(4) + raíz cúbica (8) - raíz cúbica (3) =
2. raíz cuadrada(raíz cuadrada(8)) =
3. (raíz cúbica(3))^2 =
4. raíz cuadrada(x+3) = 4

Soluciones

1- raíz cúbica(4) + raíz cúbica (8) - raíz cúbica (3) = raíz cúbica(4) + 2 - raíz cúbica (3). No se pueden sumar directamente las raíces cúbicas de 4 y de 3 porque no son semejantes.

2- raíz cuadrada(raíz cuadrada(8)) = raíz cuarta(8)

3- (raíz cúbica(3))^2 = raíz cúbica(3^2) = raíz cúbica(9)

4- raíz cuadrada(x+3) = 4

(raíz cuadrada(x+3))^2 = 4^2

x + 3 = 16

x + 3 - 3 = 16 - 3

x = 13. Al comprobarlo, la raíz cuadrada de 13 + 3 es 4.

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