Operaciones con radicales

Cuando trabajamos con radicales, las operaciones que podemos utilizar son suma, resta, división, multiplicación y algunas otras que veremos en detalle.

Aquí te dejamos un vídeo de las operaciones con radicales:

Los radicales pueden sumarse únicamente si y sólo si, son semejantes, esto quiere decir que poseen el mismo índice y radicando. Entonces para sumar radicales, es obligatorio que estos tengan igual índice y radicando. Al tener radicales semejantes, se suman los coeficientes de estos mismos.

Si tenemos radicales con índice m y el radicando es h, entonces:

r x raíz m-ésima(h) + s x raíz m-ésima(h) + t x raíz m-ésima(h) = (r + s + t) x raíz m-ésima(h)

Veamos un ejemplo para comprender la suma de radicales

5 x raíz cúbica(2) + 6 x raíz cúbica(2) + 1 x raíz cúbica(2) = (5 + 6 + 1) x raíz cúbica(2) = 12 x raíz cúbica(2)

De la misma forma que con la suma de radicales, sólo pueden restarse los radicales que sean semejantes, es decir que posean el mismo índice y radicando. En este caso, al tener radicales semejantes, se restan sus coeficientes.

Si tenemos radicales con índice m y el radicando es h, entonces:

r x raíz m-ésima(h) - s x raíz m-ésima(h) = (r - s) x raíz m-ésima(h)

Veamos un ejemplo de resta de radicales

8 x raíz cuadrada(3) - 5 x raíz cuadrada (3) = (8 - 5) x raíz cuadrada(3) = 3 raíz cuadrada(3)

Cuando multiplicamos radicales, existen dos opciones posibles: por un lado podemos tener en ellos el mismo índice y por otro lado uno diferente. En este caso, el de la multiplicación, no importa si los radicales son semejantes, ya que podemos realizar igualmente la operación. Los casos son los siguientes:

Multiplicación de radicales con igual índice

Si multiplicamos radicales que poseen el mismo índice, entonces debemos multiplicar los radicandos dejando el mismo índice que ya teníamos. Es decir, se utiliza el índice que poseen los radicales, pero se multiplican los radicandos.

Por ejemplo, tenemos: raíz cúbica(7) x raíz cúbica(2) = raíz cúbica (7 x 2) = raíz cúbica(14)

Multiplicación de radicales con diferente índice

Para poder multiplicar radicales que poseen un índice diferente, lo primero que tenemos que hacer es reducir los índices a uno común entre ellos, para luego poder realizar la multiplicación.

Por ejemplo, tenemos: raíz cuadrada(3) x raíz cúbica(9) =

Para resolver esa multiplicación, primero debemos buscar un índice común, por lo tanto buscamos el mínimo común múltiplo, siendo m.c.m.(2,3) = 6. Por lo tanto, dividimos el índice común por los índices que tienen los radicales y a cada uno de los resultados lo multiplicamos por el exponente que corresponde, así como multiplicamos también los índices de los radicandos.

raíz cuadrada(3) x raíz cúbica(9) = raíz sexta (3*3*3) x raíz sexta(9*9)

Cuando queremos dividir radicales, existen las dos mismas opciones que tenemos en la multiplicación, se puede tener el mismo o diferente índice y la operación puede realizarse sin problemas.

División con el mismo índice

Cuando tenemos radicales que poseen el mismo índice, debemos dividir los radicandos dejando el mismo índice que teníamos en los radicales.

Por ejemplo, tenemos: raíz cuarta(8) / raíz cuarta (2) = raíz cuarta (8/2) = raíz cuarta(4).

División con diferente índice

Cuando tenemos radicales que poseen diferente índice, entonces debemos reducir a un índice común para ellos, y luego realizar la división.

Por ejemplo, tenemos: raíz cúbica(4) / raíz cuadrada(2) = raíz sexta(4*4) / raíz sexta(2*2*2) = raíz sexta(16/8) = raíz sexta(2). Realizamos el m.c.m(2,3) =6, como lo hicimos anteriormente con la multiplicación.

Cuando tenemos una raíz elevada a una potencia lo que debemos hacer es elevar esa misma potencia al radicando y utilizar el mismo índice en la raíz que teníamos. Es decir, que la potencia sólo se aplica al radicando, no a la raíz en sí misma.

Por ejemplo, si tenemos: (raíz cúbica(2))*2 = raíz cúbica (2*2)

Es decir, raíz cúbica de dos elevado al cuadrado es lo mismo que decir, raíz cúbica de dos al cuadrado. La diferencia está en que el primero tiene la raíz completa elevada al cuadrado, y la segunda sólo el radicando está elevado.

Cuando aplicamos la raíz de un radical obtenemos otro radical que es igual al radicando que ya teníamos, pero con la raíz cuyo índice será el producto de los dos o más índices anteriores. Es decir, que el radicando será el mismo pero el índice de la raíz será el producto entre sus anteriores índices.

Por ejemplo, si tenemos: raíz cúbica(raíz cuadrada(2)) = raíz sexta(2)

Es decir, la raíz cúbica de la raíz cuadrada de dos, es igual a la raíz sexta de dos.

Cuando hablamos de radicales en matemáticas, nos referimos a aquellas expresiones que poseen una raíz. Estas raíces pueden ser cuadradas, cúbicas, cuartas, etc. Las raíces son las operaciones opuestas a la potencia, es decir que la raíz cuadrada de un número x es igual a otro, el cual si lo elevamos al cuadrado, nos dará como resultado x.

Si una raíz nos entrega como resultado un número que no es del conjunto de lo Racionales, es decir es un número Irracional, se deja expresado en forma de raíz para que su representación sea exacta. ¿Por qué decimos esto? Porque los números irracionales , son aquellos que poseen cifras infinitas que no se repiten, por lo que no podemos escribirlo exactamente con cifras decimales. Entonces se utilizan las raíces para expresarlos de forma correcta.

Por lo tanto, llamamos a estas raíces como radicales y tienen la forma raíz m-ésima(a), donde m, llamado índice es siempre un número positivo y mayor a cero y a llamado radicando debe pertenecer al conjunto de los números reales.

Los elementos de un radical son los siguientes

• Coeficiente: los coeficientes son los números reales que acompañan a las raíces, es decir los números que indican qué cantidad de raíces tenemos, por ejemplo: 3 raíz cuadrada(5), el coeficiente es 3.
• Índice: el índice es el número que indica qué raíz estamos queriendo obtener, es decir con el ejemplo anterior: 3 raíz cuadrada(5), el índice es 2, ya que la raíz es cuadrada.
• Radicando: el radicando es el número al cuál se le aplica la raíz, es decir el número que está “dentro” de la raíz, en el ejemplo: 3 raíz cuadrada(5), el radicando es 5.

Las ecuaciones con radicales son aquellas donde las variables o incógnitas se encuentran dentro de la raíz, que puede ser cuadrada, cúbica o dependiendo del índice que aparezca. Como mencionamos anteriormente, la raíz es la operación inversa de la potencia, por lo tanto cuando necesitemos aplicar la propiedad cancelativa para justamente “cancelar” la raíz, debemos aplicar la potencia igual al índice en ambos lados de la ecuación.

Veamos un ejemplo:

• raíz cuadrada(x + 2) = 3aplicamos la potencia cuadrada en ambos lados
• (raíz cuadrada(x + 2)) * 2 = 3 * 2aplicamos propiedad cancelativa entre raíz y potencia
• x + 2 = 9ahora restamos en ambos lados el número 2
• x + 2 - 2 = 9 - 2aplicamos prop. cancelativa con el 2
• x = 7

Es decir, para resolver la ecuación con un radical debemos primero saber cuál es el índice de la raíz que tiene el ejercicio, y luego elevarlo a la misma potencia. Una vez hecho esto, se resuelve la ecuación de forma normal.

Terminamos esta lección de operaciones con radicales con ejercicios resueltos para que puedas practicar en casa:

Realiza los siguiente ejercicios:

1. raíz cúbica(4) + raíz cúbica (8) - raíz cúbica (3) =
2. raíz cuadrada(raíz cuadrada(8)) =
3. (raíz cúbica(3)) * 3 =
4. raíz cuadrada(x+3) = 4

Soluciones

1- raíz cúbica(4) + raíz cúbica (8) - raíz cúbica (3) = raíz cúbica (4+8-3) = raíz cúbica(9)

2- raíz cuadrada(raíz cuadrada(8)) = raíz cuarta(8)

3- (raíz cúbica(3)) * 3 = raíz cúbica(3 * 3) =raíz cúbica(9)

4- raíz cuadrada(x+3) = 4

(raíz cuadrada(x+3)) * 2 = 4 * 2

x + 3 = 8

x + 3 - 3 = 8 - 3

x = 5

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