Qué es la fórmula de Euler y para qué sirve

El número E o constante de Euler es una de los números más fundamentales en matemáticas para resolver problemas muy complejos y explicar sucesos como ser los crecimientos exponenciales, entre otros.

Este número pertenece al conjunto de los números irracionales, esto quiere decir que no se conocen todas sus cifras decimales, debido a que son infinitas y que tampoco puede representarse como una fracción.

El número e se utiliza como base para los logaritmos neperianos, o logaritmos naturales, relación que permite establecer un vínculo entre el crecimiento exponencial y la función inversa. Es por ello, entre otras aplicaciones, que este número es de suma importancia en la matemática, física, arquitectura, estadística, etc.

Además este número, puede expresarse a través de la serie de Taylor, donde se suman todos los elementos de la serie donde converge al número e. A medida que sumamos mayor cantidad de dígitos, más se aproxima a su valor real.

Una de las fórmulas de Euler lleva el nombre del físico Leonhard Paul Euler, quien la descubrió, y se utiliza para poder evaluar una función exponencial para cualquier número que sea complejo. Es decir, esta fórmula dice que la función exponencial de un número complejo puro da como resultado otro número complejo en el cual sus partes, real e imaginaria, sean las funciones coseno y seno respectivamente.

Entonces, esta fórmula establece que el número e, elevado a una potencia que consiste en el producto entre un número real y la unidad imaginaria i será igual a la suma del coseno del número real y el seno de ese número multiplicado por la unidad imaginaria i.

Fórmula de Euler

e^ix = cos (x) + i . sen (x)

Elementos de la fórmula de Euler

• e: número de Euler y base de cualquier logaritmo neperiano o natural.
• i: unidad imaginaria de los números complejos.
• x: número real
• cos (x): función trigonométrica coseno.
• sen (x): función trigonométrica seno.

Identidad de Euler

También se descubrió que si cambiamos el número real que se utiliza en la fórmula de Euler, por el número irracional conocido mundialmente como π, se obtiene una consecuencia de este teorema. Sabemos que la fórmula de Euler es:

• e^ix = cos (x) + i . sen (x)
• Ahora sustituimos x = π, y obtenemos:
• e^iπ = cos (π) + i . sen (π)

Sabemos que la función trigonométrica coseno en π es igual a -1, es decir cos(π) = -1 y que la constante trigonométrica seno en π es igual a cero, es decir sen(π) = 0, entonces:

e^iπ = -1 + i . 0

La fórmula de Identidad de Euler es:

e^iπ = -1

Como bien mencionamos anteriormente, existen varias fórmulas que se le atribuyen al físico Euler, siendo estas muy significativas en la matemática. Un teorema relaciona tanto los números complejos, como las funciones trigonométricas y las funciones exponenciales, mientras que el otro relaciona los elementos de un poliedro convexo.

Debido a ello, tiene diferentes aplicaciones desde la geometría, el análisis de circuitos, trigonometría, álgebra, etc. Las aplicaciones que tiene en cada rama son muy variadas, pero veamos algunas de ellas.

• Número e, es el número irracional que se utiliza en los logaritmos naturales.
• Geometría, se usa para determinar una relación entre los vértices, las aristas y las caras de los poliedros. Es uno de los teoremas más conocidos y utilizados, debido a su simplicidad.
• Fórmula de Euler-Maclaurin, esta fórmula muestra la relación que existe entre integrales y series.
• Trigonometría, este teorema se utiliza para trazar circunferencias que son unitarias.
• Circuitos eléctricos, en este campo se utiliza para analizar los circuitos que poseen corriente alterna.

Un poliedro es una figura geométrica que tiene tres dimensiones y está formado por diferentes caras que son planas, es decir bidimensionales, y aristas siempre rectas. Para los poliedros convexos, es decir aquellos cuyas caras no se intersectan, existe una relación entre sus vértices, aristas y caras. Esta fórmula también llamada fórmula de Euler para poliedros dice que la suma de los vértices y las caras es igual a las aristas aumentadas en dos.

Fórmula de Euler para poliedros

C + V = A + 2

Elementos de la fórmula

• C: cantidad de caras del poliedro, son los polígonos que lo forman.
• V: cantidad de vértices que posee el poliedro en total.
• A: cantidad de aristas que tiene el poliedro.

Algunos de los ejemplos más comunes de estos poliedros pueden ser, el prisma, un octaedro, la pirámide y el cubo, entre otros.

Por ejemplo, un octaedro posee ocho caras, doce aristas y seis vértices. Si utilizamos el teorema de Euler para comprobarlo, tenemos:

• C + V = A + 2
• 8 + 6 = 12 + 2
• 14 = 14

Al obtener el mismo resultado a ambos lados del igual, entonces se comprueba el teorema de Euler.

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