Cómo calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo

Para calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo primero debemos repasar el Teorema de Pitágoras. Este plantea que:

“El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

Entonces aquí, planteamos la teoría sobre la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo. La hipotenusa de un triángulo rectángulo es el lado de mayor longitud que se encuentra opuesto al ángulo recto, mientras que los catetos son lados más cortos que la hipotenusa y forman al ángulo de 90° sexagesimales.

El Teorema de Pitágoras sólo puede utilizarse con triángulos rectángulos, ya que es necesario que podamos definir cuál es la hipotenusa y cuáles los catetos para que se cumpla el mismo.

La fórmula del Teorema de Pitágoras se plantea de la siguiente manera:

h² = x² + y²

Donde h es la hipotenusa, y x e y son los catetos del triángulo rectángulo.

Como bien mencionamos anteriormente, utilizamos el teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Primero que nada, debemos entender la consigna, y definir cuáles son los catetos y cuál la hipotenusa, que en este caso será la variable a encontrar. A partir de la fórmula, despejamos el valor faltante de la hipotenusa, y resolvemos reemplazando los valores de los catetos conocidos.

Entonces, a partir de la fórmula del Teorema obtenemos:

h² = x² + y²

h = raíz cuadrada (x² + y²)

Para comprobar que nuestro resultado sea correcto, el valor que obtengamos de la longitud de la hipotenusa debe ser mayor que el de los catetos. De lo contrario, algún cálculo estuvo mal realizado.

Existen infinitos ejemplos de hipotenusas de un triángulo rectángulo, pero veremos dos diferentes para calcularla en un problema sencillo.

Queremos calcular la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que los catetos miden 12 cm y 16 cm.

Para resolver este ejercicio, definimos a x = 12 cm, y = 16 cm y h como la hipotenusa. Utilizamos la fórmula:

h = raíz cuadrada (x² + y²)

Ahora reemplazamos los valores que conocemos:

h = raíz cuadrada (12² + 16²)

Resolvemos para hallar h:

h = raíz cuadrada (144 + 256)

h = raíz cuadrada (400)

h = 20

Por lo tanto la hipotenusa de este triángulo rectángulo mide 20 cm.

Ahora queremos encontrar el lado de mayor longitud de un triángulo rectángulo cuyos lados restantes miden 8 cm y 6 cm.

Definimos primero que el valor faltante, aunque el ejercicio no lo detalle, es la hipotenusa, porque menciona el hecho de que es el lado de mayor longitud. Los valores conocidos entonces, son los catetos x = 8 cm y y = 6 cm.

Utilizamos la fórmula:

h =raíz cuadrada (x² + y²)

Reemplazamos los valores de los catetos:

h =raíz cuadrada (8² + 6²)

Resolvemos para hallar h:

h =raíz cuadrada (64 + 36)

h =raíz cuadrada (100)

h = 10

Por lo tanto la hipotenusa de este triángulo rectángulo mide 10 cm.

Resolver los siguientes ejercicios

1. Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 23 cm y 15 cm.
2. Encontrar la longitud del lado más largo de un triángulo rectángulo cuyos otros lados miden 17 cm y 19 cm.
3. Una escalera se apoya a los 12 m en una pared vertical, de modo que el pie de la escalera se encuentra a 9 metros de esa pared. Calcula la altura de la escalera.

Soluciones

Paso 1

Para resolver este ejercicio, definimos a x = 23 cm, y = 15 cm y h como la hipotenusa. Utilizamos la fórmula:

h = raíz cuadrada (x² + y²)

Ahora reemplazamos los valores que conocemos:

h = raíz cuadrada(23² + 15²)

Paso 2

Resolvemos para hallar h:

h = raíz cuadrada(529 + 225)

h = raíz cuadrada(754)

h = 27.4

Por lo tanto la hipotenusa de este triángulo rectángulo mide 27.4 cm.

Definimos primero la hipotenusa, porque es el lado de mayor longitud. Los catetos x = 17 cm y y = 19 cm.

Utilizamos la fórmula:

h = raíz cuadrada(x² + y²)

Reemplazamos los valores de los catetos:

h = raíz cuadrada(17² + 19²)

Resolvemos para hallar h:

h = raíz cuadrada(289 + 361)

h = raíz cuadrada(650)

h = 25.4

Por lo tanto la hipotenusa de este triángulo rectángulo mide 25.4 cm.

Paso 3

Primero leemos el enunciado e identificamos los valores. La escalera se encuentra apoyada sobre una pared a 12 m de altura, y la base que genera en el piso es de 9 m. Por lo tanto, si pensamos en un triángulo rectángulo, el ángulo recto está formado por la pared y el piso, entonces la escalera sería la hipotenusa. Los catetos entonces son de 12 m y 9 m, y la medida de la escalera es la hipotenusa.

Planteamos la ecuación y reemplazamos los valores conocidos:

h = raíz cuadrada(x² + y²)

h = raíz cuadrada(12² + 9²)

h = raíz cuadrada(144 + 81)

h = raíz cuadrada(225)

h = 15

Por lo tanto, la medida de la escalera es 15 m.

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