¿Cómo sacar los catetos de un triángulo rectángulo?

Los catetos de un triángulo rectángulo son aquellos lados que forman el ángulo recto. Estos lados se denominan de esta forma al utilizar el teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, siendo la hipotenusa el lado restante, es decir, el lado opuesto al ángulo recto. Este teorema sirve para múltiples cálculos, pero en este caso, vamos a utilizarlo para hallar el valor de uno o los dos catetos de un triángulo rectángulo.

Si tenemos un triángulo rectángulo de lados a, b y c, siendo a y b los catetos y c la hipotenusa, entonces el teorema de Pitágoras se escribe de la siguiente manera:

c² = a² + b²

Sabiendo esto, podemos utilizar tres fórmulas despejando la incógnita que tengamos que encontrar.

Si los catetos son lados que tienen diferente longitud, podemos despejar a y b. Entonces:

• a = raíz cuadrada(c² - b²)
• b = raíz cuadrada(c² - a²)

Si los catetos tienen la misma medida, es decir, que el triángulo es isósceles, siendo a = b, y partiendo desde el teorema, tenemos:

• c² = a² + b²

Como a = b, nombraremos ambos lados como a:

• c² = a² + a²
• c² = 2a²
• c² / 2 = a²
• raíz cuadrada(c² / 2) = a

Existen muchos ejemplos de cómo realizar este tipo de cálculos. Utilizaremos algunos sencillos para ello, y luego veremos cómo proceder cuando un triángulo es rectángulo.

Hallar el valor del cateto b de un triángulo rectángulo si un cateto es a = 6 m y la hipotenusa c = 10 m

Solución

Para resolver este ejercicio, utilizamos la fórmula que despejamos para hallar el valor de b.

b = raíz cuadrada(c² - a²)

Reemplazamos por los valores que conocemos por el enunciado y resolvemos.

• b = raíz cuadrada(10² - 6²)
• b = raíz cuadrada(100 - 36)
• b = raíz cuadrada(64)
• b = 8

Por lo tanto, el cateto b = 8 m

Hallar el cateto a de un triángulo rectángulo cuyo cateto restante b = 5 m y la hipotenusa es c = 15 m

Solución

Utilizamos en este caso la fórmula para hallar a, reemplazando los valores conocidos.

a = raíz cuadrada(c² - b²)

• a = raíz cuadrada(15² - 5²)
• a = raíz cuadrada(225 - 25)
• a = raíz cuadrada(200)
• a = 14,14

Entonces, el valor del cateto restante es a = 14,14 m

Hallar los catetos de un triángulo rectángulo isósceles, sabiendo que la hipotenusa es c = 5,66 m

Solución

Utilizamos en este caso la fórmula que despejamos cuando los catetos tienen la misma longitud. Entonces:

raíz cuadrada(c² / 2) = a

• raíz cuadrada(5,66² / 2) = a
• raíz cuadrada(32 / 2) = a
• raíz cuadrada(16) = a
• 4 = a

Por lo tanto, el valor de los catetos es a = 4 m

Anteriormente, utilizamos el teorema de Pitágoras para hallar el valor de uno o los dos catetos de un triángulo rectángulo, conociendo el valor de la hipotenusa y un cateto. Pero también podemos hallar el valor de un cateto si conocemos la longitud de un lado del triángulo rectángulo y un ángulo diferente al ángulo recto.

Para ello, se utilizan las razones trigonométricas: seno, coseno y tangente. Estas razones van a relacionar ángulos con lados de los triángulos rectángulos, y es donde aparece el concepto de cateto opuesto y cateto adyacente. Cada vez que necesitamos saber si un cateto es opuesto o adyacente, lo vamos a hacer con respecto al ángulo que estamos utilizando para su resolución. Esto quiere decir que depende exclusivamente de si el lado está opuesto a ese ángulo o si el lado es adyacente a ese ángulo. Estas razones son:

SENO

• seno x = cateto opuesto / hipotenusa

COSENO

• coseno x = cateto adyacente / hipotenusa

TANGENTE

• tangente x = cateto opuesto / cateto adyacente

Veamos algunos ejemplos de cómo utilizar en cada caso las razones correspondientes.

Hallar el cateto a de un triángulo rectángulo que es adyacente al ángulo conocido x = 30° y cuya hipotenusa es c = 24 cm

Solución

Para comenzar, podemos visualizar que el enunciado nos comunica que el cateto que nos encontramos es adyacente al ángulo x, y que tenemos el valor de la hipotenusa, por lo que en este caso, la opción que debemos utilizar para encontrar el resultado es el coseno.

coseno x = cateto adyacente / hipotenusa

• cos 30° = a / 24
• 24 . cos 30° = a
• 20,7 = a

El valor del cateto adyacente a = 20,7 cm

Hallar el cateto b de un triángulo rectángulo que es opuesto al ángulo x = 55° y cuya hipotenusa es c = 15 cm

Solución

En este caso, el enunciado nos dice que tenemos que hallar el cateto opuesto al ángulo x, y conocemos el valor de la hipotenusa, por lo que la razón trigonométrica que debemos utilizar es el seno.

seno x = cateto opuesto / hipotenusa

• sen 55° = b / 15
• 15 . sen 55° = b
• 12,2 = b

El valor del cateto opuesto es b = 12,2 cm

Hallar el valor del cateto adyacente a, al ángulo x = 60° sabiendo que el cateto opuesto a este ángulo es b = 18 cm

Solución

Como tenemos conocimiento de que falta un cateto, pero tenemos el valor del otro con respecto al ángulo x, entonces utilizamos la razón tangente para resolverlo.

tangente x = cateto opuesto / cateto adyacente

• tan 60° = 18 / a
• a . tan 60° = 18
• a = 18 / tan 60°
• a = 10,3

El valor del cateto adyacente es a = 10,3 cm

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