Qué es un polinomio y cómo se clasifica

Los polinomios son expresiones algebraicas que están formadas a partir de la suma o resta de dos, tres o más términos. Recordemos que las expresiones algebraicas son parte del lenguaje que se utiliza en matemáticas y están formadas por conjuntos de números, operaciones e incógnitas que utilizamos para representar ciertas situaciones y relaciones entre ellas.

Los polinomios están formados por monomios, son expresiones únicas. Cuando varios monomios se juntan a partir de operaciones de suma y resta, entonces se forman los polinomios. Cuando los monomios se unen y forman un polinomio, dejan de ser términos independientes, individuales.

Ejemplo

Por ejemplo, tenemos los siguientes monomios:

4x² , 8x , -6x³ , 5

Si queremos formar un polinomio con esos monomios, podemos agregar operaciones de suma y resta, como por ejemplo:

P(x) = -6x³ + 4x² - 8x - 5

Con esos mismos monomios, podemos formar diferentes tipos de polinomios cambiando las operaciones que utilizamos.

Los diferentes polinomios pueden dividirse según la cantidad de términos que lo componen, es decir por la cantidad de términos que posea, tendrá un nombre en particular. Aquí te contamos cómo se clasifican los polinomios:

• Un sólo término lo denominamos monomio.
• Cuando el polinomio está formado por dos términos, entonces se llamará binomio.
• Si en cambio, el polinomio se forma con tres términos, entonces lo vamos a llamar trinomio.
• Si la cantidad de términos es cuatro, entonces tendremos que llamarlo cuatrinomio, y así sucesivamente.
• En general, a partir de los cuatro o cinco términos directamente se lo llama polinomio.

La forma más sencilla de saber cuántos términos tiene un polinomio, es separándolos. Lo importante es saber que cada término está compuesto por un coeficiente, por lo menos una variable con exponente y un signo.

Existen diferentes tipos de polinomio según los componentes de sus términos que son los siguientes:

• Polinomio Nulo: estos polinomios son aquellos que tienen todos sus coeficientes iguales a cero, es decir nulos. Por ejemplo: P(x) = 0x³ + 0x² - 0x
• Polinomio Homogéneo: son aquellos polinomios cuyo grado es igual en todos sus términos. Por ejemplo: P(x) = -3xy + 2x - 4y
• Polinomio Heterogéneo: son los polinomios cuyos grados varían en los diferentes términos que lo conforman. Por ejemplo: P(x) = 4x⁴ - 5x² + 8x + 7
• Polinomio Completo: son los polinomios que se encuentran ordenados y con todos sus términos desde el monomio de mayor grado hasta el término independiente. Por ejemplo: P(x) = 5x² - 3x - 6
• Polinomio Incompleto: son aquellos polinomios que no poseen todos sus términos desde monomio de mayor grado, hasta el término independiente. Por ejemplo: P(x) = 5x² - 6
• Polinomio ordenado: son aquellos polinomios que se encuentran ordenados desde el monomio de mayor grado hasta el monomio del término independiente, sin importar si está completo o incompleto. Por ejemplo: P(x) = 8x⁴ - 5x³ + 9
• Polinomios iguales: los polinomios son iguales, si tienen todos sus términos con los mismos componentes, es decir si tienen igual grado, e iguales coeficientes para ellos. Por ejemplo: P(x) = x⁴ - 8x³ + 5x y Q(x) = -8x³ + 5x + x⁴
• Polinomios Semejantes: los polinomios son semejantes cuando su parte literal es igual, es decir poseen las mismas variables y exponentes. Por ejemplo: P(x) = -3x² + 4x - 9 y Q(x) = 5x² - 6x - 3

Se pueden realizar diferentes operaciones con polinomios como suma, resta, multiplicación y división.

• Cuando realizamos la suma y resta de polinomios, debemos tener en cuenta que los mismos deberán estar ordenados y se suman y restan los monomios que tengan las mismas variables y exponentes.
• Cuando realizamos multiplicaciones podemos hacerlo tanto de un polinomio por un número entero, entre dos monomios o entre polinomios.
• Y cuando realizamos una división, debemos tener en cuenta que el divisor siempre sea un polinomio de menor grados que el dividendo.

Verdadero y falso

Decidir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones y justificar la respuesta.

• El polinomio P(x) = 4x³ - 5x⁷ - 8x está ordenado.
• El polinomio P(x) = 3x³ - 4x² + 5x - 7 es un polinomio completo.
• Los polinomios P(x) = -6x + 4x³ + 7x² y Q(x) = 4x³ - 6x - 7x² son iguales.
• El polinomio P(x) = -12x³ + 4x + 2x² es un cuatrinomio.
• Los polinomios P(x) = 4x⁵ - 8x³ + 9 y Q(x) = 4x³ - 7x⁵ + 4 son semejantes.
• El polinomio P(x) = 0x⁶ - 0x⁴ - 0x³ + 0x es un polinomio nulo.
• El polinomio P(x) = 4x² - 2x + 9 es un binomio.

Soluciones

El polinomio P(x) = 4x³ - 5x⁷ - 8x está ordenado. Falso, no está ordenado ya que el segundo término es de mayor grado que el primero, por lo tanto está desordenado.

El polinomio P(x) = 3x³ - 4x² + 5x - 7 es un polinomio completo. Verdadero.

Los polinomios P(x) = -6x + 4x³ + 7x² y Q(x) = 4x³ - 6x - 7x² son iguales. Falso, porque el monomio 7x² es diferente al monomio -7x², por lo tanto NO son iguales.

El polinomio P(x) = -12x³ + 4x + 2x² es un cuatrinomio. Falso, para ser un cuatrinomio le falta un término, por lo que es un trinomio, posee tres términos.

Los polinomios P(x) = 4x⁵ - 8x³ + 9 y Q(x) = 4x³ - 7x⁵ + 4 son semejantes. Verdadero.

El polinomio P(x) = 0x⁶ - 0x⁴ - 0x³ + 0x es un polinomio nulo. Verdadero.

El polinomio P(x) = 4x² - 2x + 9 es un binomio. Falso, un binomio tiene dos términos y este polinomio posee tres términos, por lo tanto es un trinomio.

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