Cómo calcular el volumen de un tetraedro

Un tetraedro es un poliedro que posee 4 caras, 4 vértices y 6 aristas. Es una figura con tres dimensiones que se forma con cuatro caras que son triángulos. El tetraedro entonces es una pirámide formada por triángulos y una base que también es triangular.

Los elementos de un tetraedro son:

• Caras: las caras de un tetraedro son triángulos que son sus lados.
• Vértices: los vértices son los puntos del tetraedro donde se unen las aristas.
• Aristas: las aristas del tetraedro es donde se unen dos de sus caras.
• Ángulo diedro: este ángulo se forma a partir de la unión de dos de sus caras.
• Ángulo poliedro: este ángulo se forma por los lados que se unen en un solo vértice.

Tetraedro regular

Un tetraedro es regular cuando los triángulos que lo forman son todos equiláteros iguales entre sí, es decir si cada uno de los triángulos que forman el tetraedro son idénticos. Este es un poliedro regular, y por lo tanto está formado por polígonos que también son regulares, es decir, que tienen lados con la misma longitud y ángulos con igual amplitud.

Debido a esto, se puede calcular el volumen de un tetraedro regular multiplicando el área de la base por la altura que tiene el mismo y dividirlo por tres. Y luego, el área superficial se calcula sumando las áreas de las cuatro caras.

En esta otra lección te contamos más sobre Qué es el tetraedro y sus características y en este vídeo puedes conocer mejor los poliedros.

La fórmula para calcular el volumen de un tetraedro regular es:

V = (a³ x raíz(2)) / 12

Siendo:

• V: volumen del tetraedro regular
• a: longitud de las aristas

Cuando el tetraedro es irregular o no es regular puede calcularse con la fórmula general de volumen para pirámides que es la siguiente:

V = 1/3 x A x h

Siendo:

• V: volumen del tetraedro irregular
• A: área de la base
• h: altura

Ejemplo

¿Cuál es el volumen de un tetraedro regular cuyas aristas miden 5 cm de longitud? Según la fórmula debemos conocer la medida de la arista para poder calcularla, en este ejemplo a = 5 cm. Entonces:

V = (a³ x raíz(2)) / 12

V = (5³ x raíz(2)) / 12

V = 14,73 cm³

Ahora bien, pensemos que conocemos el volumen de un tetraedro regular y queremos saber cuál es la medida de sus aristas. Para ello, utilizamos la misma fórmula y despejamos de la ecuación la incógnita que estamos buscando.

V = (a³ x raíz(2)) / 12

V x 12 = (a³ x raíz(2))

(V x 12) / raíz(2) = a³

raíz cúbica ((V x 12) / raíz(2)) = a

Ejemplo

Veamos un ejemplo de ello. Sabemos que el volumen de un tetraedro regular es de 25 cm³, queremos saber cuál es la medida de su arista. Entonces utilizamos la fórmula anterior:

a = raíz cúbica ((V x 12) / raíz(2))

a = raíz cúbica ((25 x 12) / raíz(2))

a = 5,96 cm

Podemos comprobar si los cálculos son correctos, utilizando la fórmula principal con el valor que obtuvimos:

V = (a³ x raíz(2)) / 12

V = (5,96³ x raíz(2)) / 12

V = 25 cm³

Por lo tanto, la arista de un tetraedro regular cuyo volumen es de 25 cm³ es igual a 5,96 cm.

Realizar los siguientes cálculos con las fórmulas antes mencionadas:

• Calcular el volumen de un tetraedro regular de arista 12 cm.
• Calcular el volumen de un tetraedro regular de arista 23 cm.
• Calcular la longitud de la arista de un tetraedro regular de volumen 54 cm³.
• Calcular la longitud de la arista de un tetraedro regular de volumen 10 cm³.

Soluciones

• Según la fórmula debemos conocer la medida de la arista para poder calcularla, en este ejemplo a = 12 cm. Entonces:

V = (a³ x raíz(2)) / 12

V = (12³ x raíz(2)) / 12

V = 203,64 cm³

El volumen es 203,64 cm³

• Según la fórmula debemos conocer la medida de la arista para poder calcularla, en este ejemplo a = 23 cm. Entonces:

V = (a³ x raíz(2)) / 12

V = (23³ x raíz(2)) / 12

V = 1.433,89 cm³

El volumen es 1.433,89 cm³

• Sabemos que el volumen del tetraedro es de 54 cm³, queremos saber cuál es la medida de su arista. Entonces:

a = raíz cúbica ((V x 12) / raíz(2))

a = raíz cúbica ((54 x 12) / raíz(2))

a = 7,7 cm

La arista mide 7,7 cm.

• Sabemos que el volumen del tetraedro es de 10 cm³, queremos saber cuál es la medida de su arista. Entonces:

a = raíz cúbica ((V x 12) / raíz(2))

a = raíz cúbica ((10 x 12) / raíz(2))

a = 4,39 cm

La arista mide 4,39 cm.

Ahora que conoces cómo calcular el volumen de un tetraedro, te animamos a aprender con esta lección Cómo calcular el volumen de un hexaedro.

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