Cómo calcular el volumen de un dodecaedro

Un dodecaedro es un poliedro que está formado por doce caras que son polígonos. Recordemos que un poliedro es una figura geométrica de tres dimensiones que se constituye por varios polígonos.

El dodecaedro regular es aquel que se forma a partir de doce pentágonos regulares, esto quiere decir que los pentágonos son todos iguales y poseen las mismas medidas tanto de aristas como de ángulos. Las caras de un dodecaedro regular son doce pentágonos regulares, posee treinta aristas que son los segmentos que unen dos pentágonos y veinte vértices, que son los puntos de unión de las aristas.

Los dodecaedros irregulares, en cambio, están formados por doce caras irregulares, es decir pueden ser polígonos diferentes.

Para estudiar el cálculo del volumen de un dodecaedro, utilizaremos los que son regulares, debido a que no existe un fórmula específica para los irregulares por su complejidad.

Antes de conocer la ecuación de volumen, vamos a repasar las características de los dodecaedros regulares.

Características del dodecaedro regular

• Tiene doce caras que son pentágonos regulares
• Es regular y aparte simétrica debido a que todas sus caras y ángulos son iguales
• Tiene treinta aristas que unen los segmentos de los pentágonos que lo forman
• Tiene veinte vértices que forman el punto de unión de las aristas
• Es un poliedro regular formado por polígonos regulares
• Es convexo debido a que sus ángulos interiores son menores a 180° sexagesimales
• Es un sólido platónico, considerado como “aquello que Dios utilizó para el Universo”

Para calcular el volumen de un dodecaedro regular debemos realizar la siguiente operación combinada:

“Un cuarto de la suma entre quince y siete veces la raíz cuadrada de cinco, multiplicado por el valor del cubo de la arista”

Es decir, la fórmula para calcular el volumen de un dodecaedro es:

V = 1/4 (15 + 7(raíz 5)) a³

Siendo

• V: volumen del dodecaedro regular
• a: valor de la longitud de la arista

Calcular el volumen de un dodecaedro irregular

Para calcular el volumen de un dodecaedro irregular, no se puede utilizar la fórmula que acabamos de ver, ya que no podemos elegir el valor de una de las aristas y no de otra, debido a que son diferentes.

Lo que puede hacerse, es descomponer la figura en cuerpos geométricos que sean más pequeños, y así hallar cada uno de sus volúmenes para luego sumarlos y obtener el valor final del volumen.

Queremos calcular el volumen de un dodecaedro regular que posee sus aristas de 4 cm.

Entonces aplicamos la fórmula:

• V = 1/4 (15 + 7(raíz 5)) a³
• V = 1/4 (15 + 7(raíz 5)) 4³reemplazamos a=4 cm
• V = 490,43 cm³calculamos y obtenemos
• El volumen de un dodecaedro regular de arista 4 cm es igual a 490,43 cm³.

Utilicemos la fórmula pero a la inversa, por ejemplo si queremos saber cuál es la medida de la arista de un dodecaedro regular cuyo volumen es igual a 2628,45 cm³

Entonces utilizamos la fórmula:

• V = 1/4 (15 + 7(raíz 5)) a³
• 2628,45 = 1/4 (15 + 7(raíz 5)) a³despejamos la incógnita
• 2628,45 x 4 / (15 + 7(raíz 5)) = a³
• raíz cúbica (2628,45 x 4 / (15 + 7(raíz 5))) = a
• raíz cúbica (343) = a
• 7 = a

Por lo tanto, la arista del dodecaedro regular es igual a 7 cm.

Terminamos esta lección sobre cómo calcular el volumen de un dodecaedro con ejercicios y soluciones que puedes hacer en casa.

1. Hallar el volumen de un dodecaedro regular de 6 cm de arista
2. Hallar el volumen de un dodecaedro regular de 12 cm de arista
3. Hallar el volumen de un dodecaedro regular de 15 cm de arista

Soluciones

1. Hallar el volumen de un dodecaedro regular de 6 cm de arista

Aplicamos la fórmula:

• V = 1/4 (15 + 7(raíz 5)) a³
• V = 1/4 (15 + 7(raíz 5)) 6³reemplazamos a=6 cm
• V = 1/4 (30,6524) 216calculamos y obtenemos
• V = 1.655,22 cm³
• El volumen de un dodecaedro regular de arista 6 cm es igual a 1.655,22 cm³.

2. Hallar el volumen de un dodecaedro regular de 12 cm de arista

Aplicamos la fórmula:

• V = 1/4 (15 + 7(raíz 5)) a³
• V = 1/4 (15 + 7(raíz 5)) 12³reemplazamos a=12 cm
• V = 1/4 (30,6524) 1.728calculamos y obtenemos
• V = 13.241,83 cm³
• El volumen de un dodecaedro regular de arista 12 cm es igual a 13.241,83 cm³.

3. Hallar el volumen de un dodecaedro regular de 15 cm de arista

• Aplicamos la fórmula:
• V = 1/4 (15 + 7(raíz 5)) a³
• V = 1/4 (15 + 7(raíz 5)) 15³reemplazamos a=15 cm
• V = 1/4 (30,6524) 3.375calculamos y obtenemos
• V = 25.862,96 cm³
• El volumen de un dodecaedro regular de arista 15 cm es igual a 25.862,96 cm³.

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