Tipos de poliedros regulares e irregulares

Los poliedros son algunos cuerpos geométricos pertenecientes al espacio que poseen caras planas y que ocupan un volumen determinado. Es decir, son cuerpos tridimensionales dentro del espacio formado por diferentes polígonos.

Cada poliedro tiene los siguientes elementos:

• Caras: las caras de un poliedro son aquellos polígonos que lo forman. Dentro de las caras podemos destacar las bases, que son los polígonos en donde se apoya el poliedro.
• Vértices: los vértices de un poliedro son los puntos en donde se unen las aristas.
• Aristas: las aristas de un poliedro son aquellos lados coincidentes de los polígonos que lo forman.
• Ángulo diedro: los ángulos diedros son aquellos ángulos que están formados por dos de sus caras que comparten una arista.
• Ángulo poliedro: los ángulos poliedros son aquellos que se forman a partir de un vértice común entre tres o más caras del poliedro.
• Diagonal: las diagonales son aquellos segmentos de recta que van a unir dos vértices que no pertenecen a la misma cara del poliedro.

Las caras de un poliedro serán las que determinen su tipo, es decir de acuerdo a la cantidad de polígonos que lo forman será su denominación. Recordemos que los polígonos son figuras bidimensionales planas que se forman por lados rectos.

Ejemplo de poliedros

Los poliedros más conocidos son:

• Cubo: es un poliedro formado por seis rectángulos regulares.
• Pirámide: es un poliedro formado por varios triángulos y una base.
• Paralelepípedo: es un poliedro formado por cuatro rectángulos iguales y dos cuadrados regulares.
• Prisma: es un poliedro formado por paralelogramos.
• Octaedro: es un poliedro formado por la unión de dos pirámides a partir de sus bases.

Existen diferentes tipos de poliedros ya que sus tipos dependen de distintos criterios que se utilizan para ello. Los poliedros pueden ser regulares, que son aquellos en los que todas sus caras son polígonos regulares iguales entre sí, es decir que sus ángulos y lados miden exactamente lo mismo.

Los poliedros regulares más conocidos son:

• Cubo: un cubo es un poliedro regular que está formado por seis caras que son cuadrados exactamente iguales entre sí. Es decir que todos los polígonos que lo forman son iguales y tienen los mismos ángulos y lados. Los cubos tienen seis caras, ocho vértices, doce aristas y cuatro diagonales.
• Tetraedro regular: un tetraedro regular es un poliedro que se encuentra formado por cuatro triángulos que son equiláteros, es decir que sabemos con precisión que todos sus lados y ángulos son idénticos. Los tetraedros regulares tienen cuatro caras, cuatro vértices, seis aristas y cero diagonales.
• Octaedro regular: un octaedro regular es un poliedro que está formado por ocho triángulos equiláteros idénticos entre sí. Es decir, que sus ángulos y lados son iguales. Los octaedros regulares tienen ocho caras, seis vértices, doce aristas y tres diagonales.
• Dodecaedro regular: un dodecaedro regular es un poliedro que se forma a partir de doce pentágonos regulares, es decir que sus lados y ángulos son iguales. Los polígonos que lo forman tienen cinco lados. Los dodecaedros regulares tienen doce caras, veinte vértices, treinta aristas y cien diagonales.
• Icosaedro regular: un icosaedro regular es un poliedro que se forma con veinte triángulos equiláteros, es decir que sus ángulos y lados son exactamente iguales entre sí. Los icosaedros regulares tienen veinte caras, doce vértices, treinta aristas y treinta y seis diagonales.

Seguimos conociendo los diferentes tipos de poliedros para hablar de los poliedros irregulares. Los poliedros que son irregulares son aquellos que poseen caras que son polígonos pero que no son todos iguales.

Con esto queremos decir, que al no cumplir con la regularidad, estarán formados por polígonos que no serán regulares y por ello no idénticos entre sí. Su clasificación o denominación depende de las caras que posea el poliedro.

Los poliedros irregulares más conocidos son:

• Tetraedro: el tetraedro es un poliedro que está formado por cuatro caras que son polígonos irregulares, es decir que son diferentes entre sí.
• Tetraedro trirrectángulo: el tetraedro trirrectángulo es un poliedro que está formado por tres triángulos rectángulos, o sea que tiene tres ángulos rectos que poseen el mismo vértice.
• Tetraedro isofacial: el tetraedro isofacial es un poliedro que se forma a partir de una base que es un triángulo rectángulo y tres caras que son triángulos isósceles idénticos.
• Pentaedro: el pentaedro es un poliedro que está formado por cinco polígonos irregulares.
• Hexaedro: el hexaedro es un poliedro cuyas caras son seis polígonos que son diferentes entre sí.
• Heptaedro: el heptaedro es un poliedro que se forma a partir de siete caras diferentes, es decir que los polígonos que lo forman son irregulares.
• Octaedro: el octaedro es un poliedro formado por ocho polígonos que son diferentes o irregulares.
• Eneaedro: el eneaedro es un poliedro que se forma a partir de nueve caras irregulares.
• Decaedro: el decaedro es un poliedro formado por diez polígonos diferentes entre sí.
• Undecaedro: el undecaedro es un poliedro que se forma con once caras distintas entre ellas.
• Dodecaedro: el dodecaedro es un poliedro que posee doce caras irregulares.
• Tridecaedro: el tridecaedro es un poliedro formado por trece caras distintas.
• Tetradecaedro: el tetradecaedro es un poliedro que se forma a partir de catorce polígonos irregulares.
• Pentadecaedro: el pentadecaedro es un poliedro que está formado por quince caras desiguales.
• Hexadecaedro: el hexadecaedro es un poliedro que se forma con dieciséis polígonos diferentes.
• Heptadecaedro: el heptadecaedro es un poliedro que posee diecisiete caras distintas entre sí.
• Octadecaedro: el octadecaedro es un poliedro que se encuentra formado por dieciocho caras no iguales.
• Eneadecaedro: el eneadecaedro es un poliedro que se forma con diecinueve polígonos irregulares.
• Icosaedro: el icosaedro es un poliedro que tiene veinte caras irregulares.

Dentro de los tipos de poliedros, también encontramos una clasificación que depende de la forma. En este sentido, los poliedros pueden ser:

• Convexos: son convexos aquellos poliedros en los cuales se puede trazar una línea que es recta para unir dos puntos cualquiera de la figura que se mantiene dentro del mismo. Es decir, para unir dos puntos del poliedro trazamos una línea recta que se encuentra dentro de la figura.
• Cóncavo: son cóncavos aquellos poliedros en los que aunque sea una parte de una línea recta que se traza para unir dos puntos del mismo, se encuentra por fuera de este.

Para conocer si un poliedro es cóncavo o convexo existe un teorema, que se llama el Teorema de Euler.

Aquí te dejamos las diferencias entre poliedros convexos y cóncavos.

El Teorema de Euler relaciona la cantidad de caras, vértices y aristas que tiene un poliedro cuando es convexo. Es decir, si un poliedro se considera convexo debe cumplir con la siguiente relación:

C + V = A + 2

Siendo:

• C = cantidad de caras
• V = cantidad de vértices
• A = cantidad de aristas

Veamos un ejemplo. Queremos saber cuántas caras tiene un prisma rectangular convexo que tiene ocho vértices y doce aristas. Entonces resolvemos con el teorema de Euler.

• C + V = A + 2
• C + 8 = 12 + 2
• C = 12 + 2 - 8
• C = 6

Por lo tanto el prisma rectangular tiene 6 caras.

Las principales características de un poliedro son:

• Los poliedros son cuerpos tridimensionales que poseen justamente como lo dice la palabra tres dimensiones cada uno que son, ancho, largo y alto.
• Las caras de un poliedro son siempre polígonos. Los mismos pueden ser regulares o también irregulares.
• Existe un teorema que relaciona las caras, vértices y aristas de los poliedros y se llama Teorema de Euler.
• Los poliedros que poseen polígonos regulares que lo forman son siempre poliedros convexos.
• Los poliedros que se consideran cóncavos son aquellos que poseen algún agujero o hendidura.
• Todo cuerpo que se considere un poliedro debe estar libre de superficies curvas, es decir solo formado por líneas rectas.

Existen cinco cuerpos geométricos que se denominan sólidos platónicos debido a que fue Platón quien los estudió por primera vez. Estos cinco cuerpos sólidos comparten ciertas características y suelen denominarse también como sólidos perfectos o cuerpos cósmicos.

Sus propiedades principales son que todas sus caras están formadas por polígonos regulares idénticos, sus ángulos diedros son iguales, las aristas poseen la misma medida de longitud y hacia los vértices concurren la misma cantidad de caras y aristas.

Son poliedros regulares y convexos, es decir que están formados por polígonos regulares. Los sólidos platónicos son:

• el cubo
• el tetraedro
• el octaedro
• el dodecaedro
• el icosaedro

Para terminar esta lección acerca de los tipos de poliedros, vamos a dejarte algunos ejercicios con soluciones para que practiques en casa.

Ejercicio 1

¿Cuál es el nombre que recibe cada poliedro según la cantidad de caras que posee?

• Seis caras
• Ocho caras regulares
• Diez caras
• Doce caras regulares

Solución

• Seis caras: es un hexaedro. Poliedro cuyas caras son seis polígonos que son diferentes entre sí.
• Ocho caras regulares: es un octaedro regular. Poliedro formado por ocho triángulos equiláteros iguales.
• Diez caras: es un decaedro. Poliedro formado por diez polígonos diferentes.
• Doce caras regulares: es un dodecaedro regular. Poliedro que se forma a partir de doce pentágonos regulares.

Ejercicio 2

¿Cuántas aristas tiene un poliedro regular que posee ocho caras y seis vértices?

Solución

Utilizando la fórmula de Euler despejamos la incógnita y resolvemos.

• C + V = A + 2
• 8 + 6 = A + 2
• 8 + 6 - 2 = A
• 12 = A

Por lo tanto el poliedro tiene doce aristas.

Comprobamos la solución

• C + V = A + 2
• 8 + 6 = 12 + 2
• 14 = 14

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