Tipos de funciones polinómicas

Las funciones que están definidas por diferentes polinomios se denominan funciones polinómicas. Recordemos que los polinomios son expresiones algebraicas que están formadas por números y letras, llamadas incógnitas. Entonces podemos decir que los polinomios están formados por varios términos.

Los polinomios tienen entonces varios números e incógnitas que a su vez tienen grados, es decir el grado de un polinomio es el mayor exponente al que está elevado una incógnita. Por lo tanto, si el mayor exponente de una potencia es 4, el polinomio será de grado 4.

Las funciones polinómicas, al estar compuestas justamente por polinomios tienen diferentes grados, coeficientes y exponentes que las forman.

Algunos ejemplos de funciones polinómicas pueden ser:

f(x) = 4x² - 5x⁵ + 6x -8

g(y) = 12y³ - 4y⁸ + 5

h(z) = -3z² + z - 7z³

Los números que acompañan a las incógnitas son los coeficientes y el número que no tiene incógnita se llama término independiente.

Una función polinómica se define como:

P(x) = a xⁿ + b x^n-1 + c x^n-2 + …. + d x¹ + e x⁰

Teniendo en cuenta que las diferentes letras distintas a x son los coeficientes de cada término, n es el grado del polinomio y e es el término independiente.

El exponente n debe ser siempre un número entero NO negativo, el coeficiente del término correspondiente al grado del polinomio NO puede ser cero, en este caso a, y cada exponente debe ser un número entero.

Existen diferentes tipos de funciones polinómicas, ya que como mencionamos anteriormente dependen del grado del polinomio. En este artículo veremos las funciones polinómicas de grado cero a grado 3.

Los tipos de funciones más comunes son las que estudiaremos a continuación.

Función polinómica cero

Este tipo de funciones tienen la particularidad de ser tan simples como que son iguales a cero. Es decir que la función tiene la forma f(x) = 0. Por lo tanto esta función es constante, ya que no posee incógnitas, ni coeficientes ni otro término más que cero.

Función polinómica lineal

Este tipo de funciones se llaman lineales, ya que todas sus gráficas tienen la forma de línea recta cuando se grafican. La forma general de las funciones lineales se expresa como f(x) = ax + b.

El grado de estas funciones siempre es 1, esto quiere decir que el mayor exponente que tienen la incógnita es 1. Puede contener o no un término independiente, pero siempre debe estar presenta la incógnita en grado 1.

Algunos ejemplos de este tipo de funciones son:

f(x) = 4x - 3

g(x) = -6x + 7

h(x) = -12x

Función polinómica cuadrática

Este tipo de funciones se llaman cuadráticas ya que el grado de estos polinomios es siempre igual a 2, es decir la incógnita siempre está elevada al cuadrado. Las funciones cuadráticas se escriben como regla general de la siguiente manera:

f(x) = ax² + bx + c

La forma de la gráfica de estas funciones es siempre una parábola, que puede apuntar para arriba o para abajo, y ser más estrecha o más abierta, pero siempre tiene esta forma. El mayor exponente de estos polinomios es 2, y puede contener o no un término lineal y uno independiente.

Algunos ejemplos de este tipo de funciones son:

f(x) = 5x² - 8x + 13

g(x) = 7x² - 9

h(x) = -3x² + 6x

Función polinómica cúbica

Este tipo de funciones se llaman cúbicas ya que el grado de estos polinomios es siempre igual a 3, esto quiere decir que la incógnita está elevada a 3 en todos los casos. Las funciones cúbicas se escriben como regla general de la siguiente manera:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

La forma que tienen las gráficas de estas funciones es una parábola cúbica, para entenderlo mejor, tiene forma de “s” o “n” según queda más o menos estirada. Estas funciones cruzan al eje x entre una y tres veces. El mayor coeficiente que tiene esta función es 3 y puede contener o no un término cuadrático, uno lineal y uno independiente.

Algunos ejemplos de este tipo de funciones son:

f(x) = -3x³ + 5x² + 6x - 9

g(x) = 4x³ - 8x + 5

h(x) = -7x³ + 4x²

z(x) = 8x³ - 6

Las características principales y más importantes de las funciones polinómicas son:

• Los exponentes deben ser números enteros y positivos.
• Los coeficientes principales, es decir los del término que confirma el grado del polinomio deben ser números enteros diferentes de cero.
• Los grados de las funciones polinómicas definen la forma de la gráfica.
• El dominio de las funciones polinómicas es el conjunto de los números reales.
• Las funciones de este tipo son siempre continuas.
• Cortan al eje y y al eje x al menos en un punto.
• Tienen máximos, mínimos y puntos de inflexión.

Aquí te explicamos "Tipos de ecuaciones de segundo grado".

Para saber si las funciones que trabajamos son o no polinómicas, debemos comprobar si los exponentes cumplen con los siguientes requisitos:

• Los exponentes que conforman el polinomio deben ser números enteros y positivos.
• Las variables o incógnitas NO pueden ser parte de un radical, es decir que no pueden ser raíces de ningún tipo.
• Y por último, las variables no pueden encontrarse en el denominar de una fracción.

Ejemplos:

• La función f(x) = 4x² + 7x - 9 es una función polinómica.
• La función g(x) = -7x^-2 + 5x NO es una función polinómica, ya que el primer término está elevado a -2.

Determinar qué tipo de funciones polinómicas son cada una de los siguientes ejemplos:

1. f(x) = 4x3 - 5x2 + 4
2. g(x) = -3x2 + 4x - 7
3. h(x) = 7x3 - 9
4. p(x) = -6x + 5
5. s(x) = -5x2 - 2x
6. q(x) = -8x

Soluciones

1. La función f(x) = 4x3 - 5x2 + 4 es una función cúbica, ya que su grado es 3.
2. La función g(x) = -3x2 + 4x - 7 es una función cuadrática debido a que su grado es 2.
3. La función h(x) = 7x3 - 9 es una función cúbica, al ser su grado 3.
4. La función p(x) = -6x + 5 es una función lineal porque su grado es 1.
5. La función s(x) = -5x2 - 2x es una función cuadrática ya que su grado es 2.
6. La función q(x) = -8x es una función lineal debido a que su grado es 1.

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